Понятия линейной независимости строк и столбцов матрицы. Базис в системе строк (столбцов) матрицы

Рассмотрим матрицу . Обозначим через j-й столбец матрицы. Система столбцов называется линейно зависимой, а сами столбцы, составляющие систему , линейно зависимыми, если существуют числа , не все равные нулю, такие что

. (3.1)

В противном случае система столбцов называется линейно независимой, а сами столбцы этой системы – линейно независимыми.

Выражение называется линейной комбинацией столбцов .

Система столбцов называется базисом в системе всех столбцов матрицы А, если выполняются следующие условия:

1) все столбцы системы G являются столбцами матрицы А;

2) система G линейно независима;

3) любой столбец матрицы А может быть представлен в виде линейной комбинации столбцов системы G, то есть для каждого существуют такой набор чисел , что .

Аналогично вводятся понятия линейной независимости, линейной зависимости и базиса в системе строк матрицы А.

Пример 3.2.Пусть . Тогда система столбцов , образует базис в системе всех столбцов матрицы A. Действительно:

1) и являются столбцами матрицы A;

2) система этих столбцов линейно независима. Докажем это от противного. Предположим, что существуют такие числа , не равные нулю одновременно, для которых

.

Полученное соотношение эквивалентно системе уравнений

Умножим первое уравнение на и прибавим ко второму. Получим , откуда , что невозможно по предположению.

3) любой столбец матрицы А может быть представлен в виде линейной комбинации столбцов и . Действительно, , .

Ранг матрицы тесно связан с понятием линейной независимости строк и столбцов матрицы.

Теорема о ранге матрицы (о базисном миноре). Ранг матрицы равен числу линейно независимых ее столбцов (строк); при этом система столбцов (строк) матрицы, содержащая базисный минор, образует базис в системе всех столбцов (строк) этой матрицы.

Свойства ранга матрицы

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Если А есть диагональная матрица, то равен числу ненулевых элементов ее главной диагонали. В частности, , .

6. Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.

7. Для любой матрицы А и любой невырожденной матрицы В справедливо .