Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрицеА, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

А·А^-1=А^-1·А=Е.

Для существования матрицы А^-1необходимым и достаточным условием является требование |А|¹0.

Если определитель матрицы отличен от нуля (|А|¹0), то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при |А|=0) — вырожденной, или особенной.

Задание 1. Укажите, какие из матриц имеют обратные, а также выделите невырожденные (неособенные) и вырожденные (особенные) матрицы:

вывод: $! невырожденные матрицы (неособенные): вырожденные матрицы (особенные):

Теорема (необходимое и достаточное условие, существования обратной матрицы).Обратная матрица А^-1 существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Обратную матрицу можно найти с помощью элементарных преобразований:

по следующему алгоритму:

1. выпишем заданную квадратную матрицу А и припишем ей справа соответственную единичную матрицу Е;

2. с помощью элементарных преобразований получим слева вместо матрицы А единичную Е:

¨ получим значение первого диагонального элемента а₁₁=1, при этом можно строки менять местами (полностью), умножать на любое, отличное от нуля число, и складывать поэлементно;

¨ получим значения а_i₁=0, , где i¹1, то есть добьёмся, чтобы все остальные элементы первого столбца стали равными нулю;

¨ далее аналогично, получим значение второго диагонального элемента а₂₂=1, и добьёмся, чтобы все остальные элементы второго столбца стали равными нулю а_i₂=0, , где i¹2;

¨ далее аналогично, будем получать значение диагонального элемента равное 1, и всех остальных элементов этого столбца равными нулю

3. тогда при соответствующих элементарных преобразованиях матрица Е превратится в А^-1.

А/Е ~Е/А^-1

Задание 2. Найти обратную матрицу с помощью присоединенной единичной и элементарных преобразований и выполнить проверку правильности её нахождения:

, следовательно, обратная матрица существует. Проверка: А·А^-1=А^-1·А=Е

, следовательно, обратная матрица существует. Проверка: А·А^-1=А^-1·А=Е

Задание 3. Найти обратную матрицу с помощью присоединённой единичной и элементарных преобразований и выполнить проверку правильности её нахождения:

, следовательно, обратная матрица существует. Проверка: А·А^-1=А^-1·А=Е

следовательно, обратная матрица существует. Проверка: А·А^-1=А^-1·А=Е

Обратную матрицу можно найти с помощью определителя и алгебраических дополнений:

например, для матрицы второго порядка А ищем А^-1 – обратную матрицу (если она существует) по формуле:

Задание 4. Найти обратную матрицу с помощью определителя и алгебраических дополнений:

Þ$! А^-1. получили, что Итак, Þ$! А^-1. получили, что Итак,

Þ$! А^-1. получили, что Итак, Þ$! А^-1. получили, что Итак,

например, для матрицы третьего порядка А ищем А^-1 – обратную матрицу (если она существует) по формуле:

Задание 5. Найти обратную матрицу с помощью определителя и алгебраических дополнений:

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается rangА, или r(А).

Из определения следует:

1) ранг матрицы А_т,_п не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A)£min(m; п);

2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=О;

3) для квадратной матрицы п-го порядка r(A)=п тогда и только тогда, когда матрица А — невырожденная.

4) Укажите ранг матрицы:

Пример матрицы	Ранг матрицы	Пример матрицы	Ранг матрицы	Пример матрицы	Ранг матрицы

5) Выразите неизвестную матрицу из матричного уравнения:

А·Х=В – умножим слева обе части на А^-1; А^-1·А·Х=А^-1·В – где А^-1·А=Е; Е·Х=А^-1·В – где Е·Х=Х; Х=А^-1·В	Y·A=В – умножим _______ обе части на __; Y=
А^-1·Х·B=C	C^-1·A·Y=C
Х·А·B=E	А·Х·A= E