Понятие множества

Понятие множества принадлежит числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством понимается совокупность некоторых элементов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества. Примерами множеств являются множество студентов данного вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными. Если есть элемент множества , то используется запись . Если не является элементом множества , то пишут .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Если множество состоит из части элементов множества или совпадает с ним, то множество называется подмножеством множества и обозначается .

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. .

Пересечением двух множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств и , т.е. .

Разностью множеств и называется множество , состоящее из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству , т.е. .

Дополнением множества называется множество , состоящее из всех элементов множества , не принадлежащих .

Множество называется конечным, если содержит конечное число элементов; в противном случае – бесконечным.

Если между множествами и можно установить взаимно однозначное соответствие (каждому элементу соответствует один элемент , и наоборот), то говорят, что множества и имеют одинаковую мощность, или эквивалентны. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным (его элементы можно пронумеровать, пересчитать).

Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число , сто для любого выполняется неравенство . Число в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества . Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным.

Наименьшее из чисел, ограничивающих множество снизу, - точной верхней гранью данного множества и обозначается символом (от лат. supremum), а наибольшее из чисел, ограничивающих множество снизу, - точной нижней гранью этого множества и обозначается символом (от лат. infinum).

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Например, множества - действительных чисел; - рациональных; - иррациональных; - целых; - натуральных. Очевидно, что , , .

Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой прямой, или числовой оси, т.е прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число, поэтому часто вместо «число » говорят «точка ».

Множество , элементы которого удовлетворяют неравенству , называется отрезком, или сегментом, ; неравенству - интервалом ; неравенствам - полуинтервалами соответственно и . Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы . В дальнейшем все указанные множества объединяем термином промежуток .