ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

О п р е д е л е н и е 3.Каждой квадратной матрице А порядка (где ³1) ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы А, обозначаемое çА ç, вычисляемое по правилу:

и так далее:

. (3)

Формула (3) носит название разложения определителя по элементам первой строки. Определитель может быть вычислен разложением по элементам его л ю б о й строки или столбца.

З а м е ч а н и е 2. Для определителя используют те же термины (элементы, строки, столбцы, главная и побочная диагонали), что и для соответствующей квадратной матрицы, чей определитель вычисляется.

Свойства определителя:

1) Определитель не меняется при замене в нем всех строк соответствующими (по номеру) столбцами;

2) Определитель равен нулю, если содержит нулевую строку или нулевой столбец;

3) Определитель равен нулю, если содержит две одинаковые строки или два одинаковых столбца;

4) Определитель треугольной матрицы

или

равен произведению элементов главной диагонали;

5) Определитель изменит знак на противоположный, если в нем поменять местами любые две строки или столбца (то есть применено элементарное преобразование первого типа);

6) Определитель не изменится, если в нем заменить строку суммой этой строки и некоторой другой, вспомогательной, предварительно умноженной на какое-либо число (то есть применено элементарное преобразование второго типа);

7) Если строку (столбец) определителя умножить на некоторое число (то есть применено элементарное преобразование третьего типа), то определитель умножится на это число.