Частотные характеристики динамических систем

Эти характеристики – эффективный инструмент исследования свойств системы, позволяющий определить, как подавляются высокие или усиливаются резонансные частоты, как сдвигаются по фазе входные гармоники при прохождении через систему. Для получения частотной характеристики необходимо найти частное решение неоднородного уравнения системы при входном воздействии

u(t)=A_вх ,

где u(t) – комплексная величина, которую на комплексной плоскости можно изобразить в виде вектора, образующего с вещественной осью угол wt+j, линейно возрастающий в функции t; поэтому вектор вращается против часовой стрелки с угловой скоростью w. Установившееся движение на выходе линейной передающей системы – гармонические колебания с частотой входных и частное решение уравнения системы ищется в форме входного воздействия, то есть f(t)=A_вых(t) – выходной вектор вращается со скоростью входного, но имеет другой модуль и смещен относительно входного на угол j=j_вых–j_вх. Подстановка указанного решения в уравнение системы и определение отношения f(t)/u(t)=W(jw)=Q(jw)/P(jw) приводят к комплексному коэффициенту передачи или амплитудно-фазовой характеристике системы. Запись последней формулы в показательной форме W(jw)=W(w) , где W(w)=А_вых/A_вх – амплитудно-частотная характеристика, j(w)=j_вых–j_вх – фазо-частотная характеристика. Так как W(jw) – дробно-рациональная функция, то амплитудно-частотная характеристика вычисляется как отношение модулей числителя и знаменателя и определяется просто: W(w)= , а фазовая характеристика как разность фазовых углов: j(w)=arctg –arctg .

Наличие базовых математических классов с набором основных операций (в частности класса полиномов и класса матриц) позволяет легко составить компактные программы для реализации приведенных вычислений, основные примеры которых приведены в программной реализации класса дифференциальных уравнений.