Ограничения области применения символического метода

Мы кратко рассмотрели удобный и эффективный метод исследования динамических систем. Это аналитический метод – численные решения мы получаем только для корней характеристического полинома и при вычислении реакции на входное воздействие, заданное в виде дискретной последовательности значений; этот факт показывает, что даже при использовании точных аналитических методов трудно избежать использования приближенных вычислений.

Следует помнить, что символический метод применим только к линейным системам (с сосредоточенными или распределенными параметрами, т.е. к обыкновенным дифференциальным уравнениям или уравнениям в частных производных), для которых справедлив принцип суперпозиции – реакция на сумму воздействий может быть вычислена как сумма реакций на отдельные воздействия.

Существенные трудности возникают и при анализе линейных (относительно функций) систем с переменными коэффициентами – приходится аппроксимировать зависимость коэффициентов от времени, например, полиномами, что приводит к появлению производных в уравнениях для изображений со старшей степенью, равной порядку аппроксимирующего полинома, то есть к дифференциальным уравнениям и тоже с переменными коэффициентами – первоначальное намерение алгебраизовать задачу остается неосуществленным.

Кроме того, реальные системы, как правило, нелинейны – мы показали это на очень упрощенных моделях из области экологии и баллистики. Наше обычное стремление привести модель системы к линейной структуре может привести к получению решения, но не для первоначальной задачи. Поэтому разработка эффективных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений будет всегда актуальной вычислительной задачей.