Передаточные функции линейных динамических систем

Благодаря операционному исчислению стало возможным перейти от классических методов количественного описания динамических свойств линейных систем в виде дифференциальных уравнений к более экономным средствам – передаточным функциям, временным и частотным характеристикам.

Передаточную функцию можно трактовать как комплексный коэффициент преобразования входного воздействия динамической системы в ее реакцию на выходе. Для формирования передаточной функции дифференциальное уравнение системы относительно функций вещественного переменного преобразуют в уравнение для функций комплексного переменного с использованием рассмотренных интегральных преобразований.

Если ввести понятие передаточной функции динамической системы в форме преобразования Лапласа W(p) как отношение изображения выходной функции F(p) к изображению входной (управляющей) U(p) при нулевых начальных условиях W(p)=F(p)/U(p), то оказывается, что изображение интеграла Дюамеля, являющегося изображением выходной функции, равно произведению передаточной функции на изображение управляющей функции.

Сложные динамические объекты редко идентифицируются сразу как единое целое – обычно получают их описание по частям или звеньям, а затем находят общее описание системы как описание соединения отдельных звеньев.

В этом случае передаточные функции оказываются удобным инструментом определения общего описания линейной системы. Вначале рассмотрим примеры передаточных функций некоторых элементарных звеньев.

Рассмотренные нами ранее уравнения 2-го порядка для механической колебательной системы или электрического колебательного контура, записанные в общем виде как

a₂ +a₁ +a₀x=ku,

приводят к передаточной функции вида

W(p)= .

Если масса механической системы или индуктивность электрической цепи пренебрежимо малы, то приведенное уравнение вырождается в уравнение первого порядка a₁ +a₀x=ku и его передаточная функция W(p)=k/(a₁p+a₀).

Уравнение интегрирующего звена Tdx/dt=u, его решение – x= , а передаточная функция W(p)=1/Tp.

Звено с постоянным запаздыванием (типа, например, конвейера) описывается уравнением x(t)=u(t–t) и его передаточная функция W(p)= .

В управляющих устройствах систем управления используют звенья, имеющие передаточные функции, обратные передаточным функциям колебательного и инерционного звеньев, например, форсирующее звено первого порядка с передаточной функцией W(p)=Tp+1, или форсирующее звено второго порядка с передаточной функцией W(p)=a₂p²+a₁p+1, или дифференцирующее звено W(p)=ap.

Звенья в системе могут соединяться последовательно, параллельно и встречно-параллельно (обратной связью).

Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению входящих в цепочку звеньев:

W(p)= .

При параллельном соединении звеньев результирующая передаточная функция равна сумме передаточных функций входящих в соединение звеньев:

W(p)= .

И, наконец, соединение двух звеньев по принципу обратной связи, когда

x_вх1=x_вх±x_вых2

может быть получена так:

x_вых=W₁(p)x_вх1; x_вых2=W₂(p)x_вых

W(p)= .

При этом верхний знак «–» относится к положительной обратной связи, а нижний «+» к отрицательной.

Обратную связь принято называть жесткой, если W₂(p)=const, то есть звено в обратной связи есть простой усилитель. Нежесткие обратные связи имеют ряд разновидностей – гибкие, изодромные, скоростные, запаздывающие и пр.