Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Уравнение имеет вид:

a_nf⁽ⁿ⁾(t)+a_n-1f^(n-1)(t)+….+a₁f(t)+a₀=u(t).

Начальные условия: f(0)=f₀, f⁽ⁱ⁾(0)=f_i, i=1, 2, …, n–1.

Применим к функциям f(t), u(t) и их производным преобразование Лапласа, обозначив изображения f(t) через F(p), a u(t) через U(p), получим алгебраическое уравнение

F(p)[a_npⁿ+a_n-1p^n-1+….+a₁p+a₀]=U(p)+f(0)[a_np^n-1+
+a_n-1p^n-2+….+a₁]+f⁽¹⁾(0)[a_np^n-2+a_n-1p^n-3+….+a₂]+…+f^(n-1)(0)[a₀]

или в свернутом виде

F(p) =U(p)+ .

Обозначим слагаемое, обусловленное ненулевыми начальными условиями

N(p)= ,

сумму Q(p)=U(p)+N(p), а полином =P(p) назовём характеристическим полиномом.

Тогда изображение решения дифференциального уравнения

F(p)= .

Используя общую формулу разложения, получим решение уравнения:

=f(t),

где .

Здесь мы встретились с одним из положительных качеств символического метода – начальные условия вводятся сразу, еще при постановке задачи и не вызывают никаких осложнений при ее решении. При решении однородного уравнения опускается управляющая функция, а если нас интересует только вынужденное движение, то задаются нулевые начальные условия.

Единственная трудность, которая нас поджидает, состоит в получении изображения управляющей функции u(t), да еще и желательно в виде полинома или рациональной полиномиальной дроби. Если это одна из табулированных функций или ее преобразование Лапласа находится достаточно легко, то проблема решается. Если же это произвольная функция времени, то при компьютерном решении она будет задана последовательностью своих значений на конечном временном интервале. Общее решение ищется в этом случае следующим образом.

Заменим вначале нашу управляющую функцию единичным импульсом, имеющим изображение 1, и найдем общее решение системы в виде реакции на этот импульс. Обозначим это решение через h⁽¹⁾(t).

Если предположить, что дискретные значения управляющей функции взяты через достаточно малые интервалы аргумента Δτ, то эту функцию можно приближенно заменить последовательностью прямоугольных импульсов продолжительностью Δτ и амплитудой u(iΔτ) где i – порядковый номер значения, а реакцию системы на каждый из прямоугольных импульсов заменить реакцией на импульсную функцию A_i¡⁽¹⁾, где A_i=u(iΔτ)Δτ. Если реакция системы на ¡⁽¹⁾ есть h⁽¹⁾(t), то реакция на i-й прямоугольный импульс будет приближенно равна h⁽¹⁾(t-iΔτ)u(iΔτ)Δτ, причем она будет существовать только для t³iΔτ, так как реакция не может предшествовать воздействию. Реакция системы в момент времени t=nΔτ будет равна сумме реакций от каждого предшествующего импульса:

f(t)≈ .

При желании можно перейти к предельному выражению, считая что Δτ→dt и прямоугольный импульс стремится к ¡⁽¹⁾,величина iΔτ стремится к непрерывной величине t, а сумма – к интегралу, дающему точное значение τ:

f(t)= .

Этот интеграл – свертка функций h⁽¹⁾(t) и u(t) или интеграл Дюамеля (мы уже упоминали о нем под названием теоремы свертывания Бореля); функции под интегралом можно поменять местами и представить интеграл в виде

f(t)= .