Численное дифференцирование

Первое совершенно тривиальное решение, которое приходит в голову при необходимости вычислить производную табличной функции в той или иной точке (в узле или межузловом промежутке) – это выполнить аналитическую замену легко дифференцируемой функцией (например, полиномом), продифференцировать полученную аппроксимирующую функцию и вычислить значение функции-производной при заданном значении аргумента. Но мы столкнемся при этом с рядом проблем – «волнистостью» аналитической замены из-за слишком высокой степени интерполяционного полинома, построенного по большому количеству узлов или по узлам со слишком большим шагом, влиянием погрешностей различного происхождения. Это может привести (и, как правило, приводит) к тому, что даже первая производная в заданной точке для исходной и аппроксимирующей функций будут отличаться очень сильно, вплоть до несовпадения их знаков.

Дифференцирование табличных функций – в принципе некорректная задача, так как погрешность вычисления производных может многократно превышать погрешность интерполяции самой функции – погрешность вычисления производной равна производной погрешности интерполяции. Поэтому, если есть возможность избежать численного дифференцирования табличных функций – это надо сделать. Если же выхода нет – применяйте диктуемые здравым смыслом приемы для уменьшения потенциальных погрешностей дифференцирования.

К таким приемам относятся методы фильтрации аппроксимирующей функции – удаления из нее высоких частот незначительной амплитуды, близкой к допустимой погрешности аппроксимации. К такому эффекту осреднения приводит использование метода наименьших квадратов со степенью аппроксимирующего полинома значительно ниже количества используемых узлов. При использовании в качестве базисных функций ортогональных полиномов Чебышева можно постепенно добавлять члены с более высокими степенями с вычислением для каждой степени величины остаточной дисперсии – когда она уменьшится до удовлетворительного значения или темп ее уменьшения станет малым, наращивание степени полинома следует остановить. Попутно можно вычислять производную в заданной точке и, если ее значения подвержены при наращивании степени полинома значительным изменениям, к получаемому результату надо относиться с недоверием.

Другой способ фильтрации высоких частот состоит в том, что полученную тем или иным способом аппроксимирующую функцию пропускают через инерционное звено – математически это означает использование аппроксимирующей функции в качестве правой части неоднородного линейного дифференциального уравнения и получения в результате решения уравнения функции, используемой для последующего дифференцирования. Если программа для решения дифференциальных уравнений снабжена удобным пользовательским интерфейсом, позволяющим плавно менять коэффициенты уравнения и выводить графики исходной функции, аппроксимирующей функции и функции решения дифуравнения, то можно визуально наблюдать результаты аппроксимации и фильтрации и оценивать допустимость производимых при этом искажений. В следующей главе мы рассмотрим методы численного решения дифференциальных уравнений с примером пользовательского интерфейса с выводом графиков функций для операционной системы Windows и вы сможете воспользоваться ими для проверки возможности использования высказанных рекомендаций.

На этом мы завершим рассмотрение методов численного дифференцирования табличных функций – занятия малоэффективного в части доверия к получаемым результатам.