Обыкновенные дифференциальные уравнения (общие сведения)

Обыкновенным дифференциальным уравнением для функции f(t) называется уравнение вида

F(t, f(t), f⁽¹⁾(t), …, f⁽ⁿ⁾(t))=0,

где F – заданная функция для бесконечного или конечного интервала t. Порядок уравнения определяется порядком n старшей производной f⁽ⁿ⁾(t) в этом уравнении. Уравнение называют линейным, если функция F линейно зависит от всех своих аргументов:

F(t)=f⁽ⁿ⁾(t)+a_n-1f^(n-1)(t)+…+a₁f(t)+a₀,

где a₀, a₁, …, a_n-1 – либо заданные постоянные коэффициенты, либо заданные функции t. Это уравнение можно рассматривать и в векторном варианте, когда fиFявляются вектор-функциями и мы имеем дело не с одним уравнением, а с системой уравнений.

Для рассмотрения методов решения дифференциальных уравнений в принципе достаточно иметь метод решения системы уравнений первого порядка

f⁽¹⁾(t)=F(t, f(t)),

где fи F– векторы с n координатами F₁, F₂, …, F_n, f₁, f₂, …, f_n, поскольку уравнение n-го порядка сводится к системе n уравнений первого порядка, а систему m уравнений n-го порядка можно свести к системе nm уравнений первого порядка методом замены переменных:

f_i(t)=f^(i-1)(t), i=1, …, n.

В случае линейности системы уравнений относительно f(t) она принимает вид

f⁽¹⁾(t)+Af(t)=b(t),

где А–заданная матрица размера nхn, b–заданная вектор-функция от t.

Если элементы матрицы Ане зависят от t и b=0, то мы приходим к линейной однородной системе с постоянными коэффициентами:

f⁽¹⁾(t)+Af(t)=0,

решение которой можно получить явно в виде разложения

f(t)=c(E+At+A²t²/2+…),

где с – произвольный постоянный вектор с n координатами. Разложение в скобках есть экспонента с показателем Аt и решение можно записать в компактной форме

f(t)=e^Atc.

Так как общее решение системы зависит от n произвольных постоянных с_i, то для определения конкретного единственного решения необходимо задать n дополнительных условий, которые обычно представляют собой начальные условия вида f(0)=f₀или граничные условия вида f(a)=f_a и, например, решение для системы однородных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами для заданных начальных условий (задача Коши) будет

f(t)=e^Atf₀.

Если дополнительные условия для функции или ее производной заданы не в одной точке диапазона, а в нескольких, то мы имеем дело с так называемой краевой задачей, для которой ключевым является вопрос наличия и единственности решения.

В общем случае уравнения n-го порядка надо задать n условий для функции f и/или ее производных до (n–1)-го порядка, а для системы уравнений первого порядка надо задать р условий для функции в точке а и n–р условий в точке b.