Определители квадратных матриц

Прежде чем ввести операцию обращения матриц , необходимо дать понятие определителя квадратной матрицы. Для квадратной матрицы размера 2×2 определителем является число Δ, получающееся по формуле

(2)

Таким образом, , где – первые три буквы от латинского determinantis (определитель). Так легко получается детерминант 2-го порядка.

Пример 6

.

Однако для матрицы размера 3×3 определитель строится сложнее:

(3)

Для простоты запоминания пользуются следующими схемами:

первые три суммы	последние три суммы

Схема называется правилом треугольников.

Модифицируем его, т.е. распрямим треугольники.

– схема Саррюса.

(4)

Если квадратная матрица имеет размер 4×4 и выше, то для вычисления ее определителя применяется правило Лапласа:

где: ,

(5)

т.е. детерминант матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки (или -го столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

При этом – минор (определитель -го порядка), получающийся из матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца, – алгебраическое дополнение к элементу .

Заметим, что правило Лапласа позволяет определители -го порядка вычислять через определители -го порядка.

Пример 7

Замечание. Если определитель матрицы приведен к треугольному виду

,

то его значение равно произведению элементов, стоящих по главной диагонали, т.е. . Это автоматически следует из правила Лапласа.

Отметим элементарные преобразования (Э.П.) над строками определителя, которые не меняют его значения:

1) вынесение общего множителя строки за знак определителя;

2) прибавление к одной строке элементов другой строки;

3) прибавление к одной строке элементов другой, умноженных на некоторое число.

Пример 8

+ =

+

Замечание 1. Такие же Э.П. можно выполнять и над столбцами определителя.

Замечание 2. Определитель

и называется определителем Вандермонда.

Студентам предлагается доказать это самостоятельно.