Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями. Они выполняются по следующим правилам:
1. 
, где 
.
2. 
, где 
.
Пример 1
.
3. Умножение матриц выполняется по следующей схеме:
, где 
.
Заметим, что в левой матрице число столбцов совпадает с числом строк в правой матрице. Только в этом случае операция умножения возможна.
Пример 2
Пример 3
Замечание. В общем случае умножение матриц неперестановочно, т.е. 
. Однако, можно подобрать две квадратные матрицы, чтобы 
, в этом случае говорят, что матрицы коммутируют.
Пример 4
, 
,
;
.
4. Матрицы можно возводить в степень, причем только квадратные, т.е. число столбцов должно соответствовать числу строк.
5. Рассмотрим еще одну операцию над матрицами – транспонирование. При транспонировании матрицы 
ее строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка. Обозначается 
или 
. Транспонировать можно матрицы любой размерности.
Пример 5
.
