Определение. Если 
, то матрица 
называется антисиметрической или кососимметрической.
Для кососимметрическойматрицыимеет место:
1. 
при всех 
.
2. 
.
Пример. Требуется показать, что матрица – кососимметрическая 
.
▲ Строим матрицы 
и 
, сравниваем их соответствующие элементы:
.
Т.к. и соответственно 
, то данная матрица – кососимметрическая. ▼
Теорема. Любая квадратная матрица может быть представлена в виде суммы симметрической 
и кососимметрической матрицы 
:
.
▲ Вычислим матрицы и .
. (1)
Транспонируя (1), получим:
. (2)
По определениюсимметрической матрицы
. (3)
По определениюкососимметрической матрицы
. (4)
Подставляя (3) и (4) в (2), получаем:
. (5)
Складывая (1) и (5), получаем:
. (6)
Вычитая (5) из (1), получаем:
. (7)
Таким образом, матрица однозначно представляется в виде суммы симметрической матрицы и кососимметрической матрицы . ▼
Пример. Разложить матрицу 
на симметрическую часть и кососимметрическую часть.
▲ Транспонированная матрица имеет вид 
.
Тогда
;
.
Действительно, – симметрическая, а – кососимметрическая матрица.
Проверка: 
. ▼
Резюме
Заменой строк на столбцы в заданной матрице получают соответствующую транспонированную матрицу 
.
Если 
матрица называется симметрической,
если 
– кососимметрической.
Каждая квадратная матрицаможет быть однозначно представлена в видесуммы симметрической и кососимметрической матриц.
