Блочная (расчлененная) матрица

Часто бывает необходимо исследовать некоторыеподмножества элементов в матрице, которые образуют так называемуюподматрицу.

Если вычеркнуть все строки и столбцы, кроме строк и столбцов в матрице , то полученная матрица называется подматрицей матрицы .

Элементыв каждом блоке образуют следующие матрицы:

;

.

Матрицу можно представить в виде матрицы, элементами которой являются матрицы

.

Причинами, позволяющими ввести расчленениематрицна подматрицы, являются следующие:

1. Расчленениеможет облегчить написание и напечатаниематрицы.

2. Оно выделяет некоторую частную структуру матрицы , которая будет интересна.

3. Оно облегчает вычисления.

Если расчленение приносит пользу для вычисления, то мы должны быть в состоянии совершать обычные действия сложения и умножения в расчлененной форме.

Ясно, что если

и каждая подматрица с соответствующей подматрицей имеет одинаковое число строк и столбцов, то

.

Следовательно, правило для сложения блочных матрицаналогичноправилу сложения обычных матриц, если подматрицы являются одного типа.

Можно показать, что умножение блоками следует обычным правилам умножения:

при условии, чтоподматрицы являются согласованными для умножения.

Как обычно, если матрица является типа и матрица является типа , то матрица является типа .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей?

2. Какая матрица называется единичной, квадратной, транспонированной?

3. Сколько элементов содержится в матрице n-го порядка?

4. В некоторой матрице 36 элементов. Каких типов она может быть?

5. В некоторой матрице 11 элементов. Каких типов она может быть?

6. Дана квадратная матрица A с элементами .

Сколько элементов расположено: а) над главной диагональю; б) на ней; в) под ней?

7. Сколько элементов в квадратной матрице n-го порядка расположено над главной диагональю?

8. Постройте матрицы типа , элементы которых определяются по формулам: а) ; б) ; в) ; г) .

Симметрично ли расположены элементы этих матриц относительно главной диагонали?

9. Докажите теорему: след суммы двух матриц равен сумме следов этих матриц.

10. Является ли сумма матриц симметрической, если слагаемые – симметрические? Дайте обоснованный ответ.

11. Как определяются линейные операции над матрицами?

12. Как сложить две матрицы и всегда ли это можно сделать?

13. Если сложение матриц определено, сложить матрицы A и B в следующих случаях:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

14. Пусть и . Показать непосредственным вычислением сумм, что .

15. Пусть матрицы типа . Показать непосредственным вычислением сумм, что .

16. Как умножить матрицу на число?

17. Каковы свойства линейных операций над матрицами?

18. Как умножить матрицу на матрицу? Всегда ли это выполнимо?

19. Каковы свойства произведения матриц?

20. Выяснить, имеет ли смысл закон коммутативности для прямоугольных матриц. Исследование провести на числовом примере.

21. Выяснить, имеет ли место коммутативность при умножении квадратных матриц одного и того же порядка.

22. Найти произведения и (если они определены):

а) ; б) ;

в) ;

г) ;

д) .

23. Показать непосредственным вычислением, что

, когда .

24.Даны диагональные матрицы . Записать произведения и . Что верно для произведений матриц и ?

25. Доказать, что если операции определены, всегда справедливо

.

26. Даны матрицы . Предполагая, что все операции определены, доказать, исходя из определения умножения, что

.

При каких обстоятельствах все операции определены?

27. Даны матрицы .

При каких условиях выполняются следующие равенства:

а) ; б) ?