После того как определена операция умножения матриц и установлены её свойства, можно ввести новое алгебраическое понятие: кольцо квадратных матриц одинакового порядка.
Кольцом называется множество, для которого:
определены операции сложения и умножения элементов;
сложение ассоциативно и коммутативно,
сложение обратимо,
умножение ассоциативно и дистрибутивно.
Множество квадратных матриц одинакового порядка, элементами которых являются вещественные числа, удовлетворяет этим условиям.
Т.к. закон коммутативности умножения не выполняется, кольцо матриц не коммутативно.
Оно обладает делителями нуля.
Единичная матрица является однозначно определенным нейтральным элементом умножения.
Кольцом является также множество целых чисел, однако это кольцо коммутативно.
Резюме
Умножение матриц возможно, если матрицы являются «согласованными».
Элементы матрицы-произведения вычисляют по следующему правилу: чтобы получить элемент, стоящий в 
строке и 
столбце произведения двух матриц, нужно элементы 
строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы (т.е. имеющие одинаковые двойные индексы) 
столбца второй и полученные произведения сложить.
При умножении матрицы типа 
на матрицу типа 
получается матрица типа 
.
Умножение матриц ассоциативно и дистрибутивно, но не коммутативно.
Множество матриц одинакового порядка образует кольцо.
