Ассоциативность

Теорема. Если и «согласованные», то умножение матриц ассоциативно,т.е.

.

Докажите закон ассоциативности самостоятельно.

Т.к. выполняетсязакон ассоциативности, использование скобок при умножении матриц необязательно:

.

Закон ассоциативностиможет быть распространен наумножение любого конечного числа матриц, если они в данной последовательности являются согласованными:

.

Если матрица квадратная, то может быть образованопроизведение из сомножителей .

Определение степенью квадратной матрицы называется произведение из сомножителей, .

Учитываяизвестные правила действий над степенями для вещественных чисел, получаем

.

Определение. .

Пример. Дана матрица .

Нужно рассчитать .

▲ ;

;

;

;

с другой стороны, можно рассчитать и как произведение :

. ▼

Дистрибутивность

Теорема. Если матрицы одинакового типа и матрица согласована с , то

.

▲ .

Распишем элемент :

.

В матричной записи это означает . ▼

Пример. Даны матрицы

Полученные результаты, естественно, совпадают. ▼

Теорема. Если матрицы одинакового типа, и матрицы согласованы с , то

Доказательство провести самостоятельно аналогично доказательству теоремы.