Коммутативность

Выясним, выполняется ли для умножения матрицзакон коммутативности.

1.Исследуем, имеет ли смыслзакон коммутативности для прямоугольных матриц.

Исследование проведём на числовом примере.

Пример. Найти произведения двух матриц

.

▲ Число столбцовматрицы равно числу строкматрицы , поэтому определено произведение .

Число столбцовматрицы равно числу строкматрицы , поэтому определено произведение .

Применяясхему Фалька, получаем

	B	АВ

–2

A
	–1	–6

A	3
	–1		BA
B

	–2	–4	–9	–6

Оба произведения, и , здесь имеют смысл, но являются различными матрицами (даже различных порядков). ▼

2. Выясним, имеет ли местокоммутативность при умножении квадратных матриц одного и того же порядка.

Пример. Найти произведение и двух квадратных матриц второго порядка

.

▲ Применяясхему Фалька, получаем

B –2

–5

A –19 AB

–12

A

B –2 –1 –1 BA▼

–5

Примеры показывают, что произведение двух матриц может не обладать коммутативным свойством, т.е. в общем случае

.

Эти же примеры показывают, что законы операций над вещественными числами не могут без доказательств переноситься на новые математические объекты.

Однако можно доказать, что существуют квадратные матрицы, удовлетворяющие равенству

.

Пример. Пусть

.

▲ Тогда

. ▼

Матрицы , для которых , называются перестановочными или коммутативными.

Очевидно, что это может иметь место только в случае, когда – квадратные матрицы одного и того же порядка.

Пусть – квадратная матрица порядка ,

– единичная матрица,

– нулевая матрица того же порядка.

Тогда

, .

Эти равенства легко получаются непосредственной проверкой.

Равенства означают, что при умножении матриц

единичная матрица играет роль единицы,

нулевая матрица – роль нуля.

Имеются, однако, и такие матрицы , что

,

хотя и .

Эти матрицы называются делителями нуля.

Замечание. Как известно, для вещественных чисел

тогда и только тогда, когда или .

В поле вещественных чисел делителей нуля не существует.

Пример. Даны матрицы

и .

Найти .

▲ .

Следовательно, – делители нуля. ▼