Умножение матрицы на вещественное число

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементовматрицы путем умножения их на число .

Обозначение: .

Таким образом, если

,

то

.

Краткая запись: .

При умножении матрицы на число её тип сохраняется.

Пример. Дана матрица

и вещественное число .

Тогда .

Умножение матрицы на вещественные числа

имеет следующие свойства:

1. .

2. .

3. .

Истинность утверждений 1, 2 и 3 устанавливается непосредственно, т.к. каждый элементматрицы умножается на 1, 0 или соответственно.

4. – ассоциативность.

▲ – иная записьматрицы ;

– по определениюумножения матрицы на вещественное число (наружные скобки обозначают матрицу);

– в силуассоциативности умножения вещественных чисел (наружные скобки обозначают матрицу);

– по определениюумножения матрицы на вещественное число;

– по определениюумножения матрицы на вещественное число (внутренние скобки обозначают матрицу);

. ▼

5. – дистрибутивность.

6. – дистрибутивность.

Утверждения 5 и 6 доказать самостоятельно.

Резюме

Для матриц, принадлежащих одному и тому же множеству , может быть введено отношение равенства.

На множестве матриц одинакового типа может быть введена операция сложения.

Множество матриц одинакового типа образуют относительно сложениямодуль.

Для сложения матриц выполняются закон коммутативности и ассоциативности.

Умножение матрицы на вещественное число состоит в умножении каждого элемента матрицы на это число.

Для умножения матрицы на вещественное число выполняются закон ассоциативности и два закона дистрибутивности.