Подобные матрицы имеют одинаковые собственные значения.

Мы определили вектор как автономный математический объект, но вполне могли бы считать его частным случаем одностолбцовой или однострочной матрицы и считать для него справедливыми уже рассмотренные операции умножения.

В частности, матрица типа 1xn называется вектор-строкой, а матрица типа mx1 – вектор-столбцом.

Число (скаляр) можно рассматривать как матрицу типа 1x1.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. В отличие от единичной, нулевая матрица может быть как квадратной, так и прямоугольной.

В приведенных рассуждениях мы использовали матрицу как математический объект, обозначаемый символом, над которым мы осуществляем действия аналогично действиям над обычными числами – по существу, мы толкуем матрицу как некоторое гиперкомплексное число.

Но существенны и отличия матричной алгебры от алгебры комплексных чисел – например, некоммутативность операции умножения и обусловленную этим неоднозначность операции деления (если ее рассматривать как умножение матрицы на обратную делителю матрицу, то результат зависит от порядка сомножителей). Еще одной особенностью умножения является возможность получения нулевого результата при обоих ненулевых сомножителях.

Остальные элементы матричной алгебры достаточно просты:

Две матрицы считаются равными только при равенстве всех их элементов с одинаковыми индексами.

Сложение матриц сводится к суммированию элементов с одинаковыми индексами.

Целые положительные степени матриц получают последовательным умножением матрицы на саму себя

A^p=AA…A,

а целые отрицательные степени вводятся как целые положительные степени обратной матрицы:

A^-p=(A^-1)^p.

Операция транспонирования подразумевает замену строк столбцами.