Вещественное (действительное) число и числовая прямая

Понятие действительного числа вводится поэтапно.

Вначале возникло множество натуральныхчисел – для нумерации или для счета: N = {1, 2, 3, ...}.

Если к множеству N добавить 0 и отрицательные целые числа, то получится множество целыхчиселZ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, т.е. N Z.

Целые и дробные числа составляют множество рациональныхчиселQ, которые выражаются отношением двух целых чисел: и т.д.

Всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби:

– чистая бесконечная периодическая дробь (период равен 3 и находится сразу после запятой),

= - 2,5(0) – смешанная конечная периодическая дробь (период равен 0);

=0,4545…=0,(45);

0,2(5) – смешанная бесконечная периодическая дробь.

По бесконечной периодической дроби можно найти рациональное число в виде обыкновенной дроби.

Пример 1.Найти рациональное число, равное смешанной бесконечной периодической дроби 0,43(1998).

Решение. Искомое рациональное число обзначим через x:

x = 0,43(1998) = . В знаменателе степень 2 – число цифр до периода, степень 4 – число цифр в периоде.

Пример 2.Найти рациональное число, равное 1,2(3).

Решение. x = 1,2(3) = .

Пример 3.Найти рациональное число, равное 0,12(34).

Решение. x = 0,12(34) = .

Иррациональные числаI выражаются бесконечной непериодической десятичной дробью. Например, , , π=3,141592654… и т.д.

Множества рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных чиселR = Q I.

Между множествами N, Z, Q и R существует соотношение N Z Q R.

Геометрически множество R изображается точками числовой прямой (или числовой оси) – прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел R и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».

Множество действительных чисел R дополняют двумя элементами, обозначаемыми -∞ и +∞ и называемыми «минус бесконечность» и «плюс бесконечность» (или бесконечно удаленными точками).

Множество R, дополненное элементами -∞ и +∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается .

Для бесконечно удаленных точек справедливы правила:

Порядок чисел на естественный: всякое действительное число меньше +∞ и больше -∞, т.е. если х є R, то -∞ < х < +∞.

-∞ на числовой прямой находится левее всех чисел, +∞ – правее всех чисел.

Иногда R дополняют одним элементом ∞, называемым бесконечностью или бесконечно удаленной точкой.

Возьмем на числовой прямой две точки: а и b. Тогда множество, элементы которого удовлетворяют:

- неравенству а ≤ х ≤ b, называется отрезком [а; b];

- неравенству а < х < b – интервалом (а; b);

- неравенствам а ≤ х < b или а < х ≤ b – полуинтервалами соответственно [а; b) и (а; b].

Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы (-∞; b), (а; +∞), (-∞,+∞), (-∞; b], [a; +∞).

Все указанные множества объединяют термином промежуток X.

Если представить, что некоторая точка х на числовой прямой движется вправо к бесконечно удаленной точке, то записывают х®+∞ (x стремится к плюс бесконечности), если влево, то х® -∞(x стремится к минус бесконечности).