Множества и операции над ними

РАЗДЕЛ 1. Дифференциальное исчисление

Лекция 1. Функция

Множества и операции над ними

Множество – совокупность объединенных по некоторому признаку объектов. Объекты, образующие множество, называются его элементами или точками.

Запись aєA означает, что элемент а принадлежит множеству A. Запись b A означает, что элесент b не принадлежит множеству A.

Обычно множества обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, С, ..., X, У, Z, ..., а их элементы – малыми буквами латинского алфавита: а, b, с, ..., х, у, z, ... .

Иногда множество записывают с помощью фигурных скобок: А = {а₁; а₂; а₃; ...; а_п}.

Пустое множество – которое не содержит ни одного элемента; обозначается символом Ø.

Бесконечное множество – которое содержит любое конечное число элементов.

Множество В называется подмножеством (частью) множества A, если каждый элемент множества В является элементом множества A. Символически это обозначают так: В A.

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: А = В.

Числовые множества – множества, элементами которых являются числа.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств:

С = A В = {х | х є А или х є В}.

Пересечением двух множеств А и В является множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В:

С = A В = {х | х є А и х є В}.

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В:

С = A \ В = {х | х є А, х В}.

Если В A (В – подмножество множества A), то разность С = A \ В называется дополнением множества В до множества A.

Пример. Объединение: {1; 5; 6; 7} {2; 5; 6; 9} = {1; 2; 5; 6; 7; 9};

Пересечение: {1; 5; 6; 7} {2; 5; 6; 9} = {5; 6};

Разность: {1; 5; 6; 7} \ {2; 5; 6; 9} = {1; 7}.

Прямое (декартовое) произведение множествA и В – это множество C=AхВ, элементами которого являются все упорядоченные пары (x, y), в которых х є А, y є В.

A={2; 3; 9}; B={1; 4}. C=AхВ={(2; 1); (2; 4); (3; 1); (3; 4); (9; 1); (9; 4)}.