Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется множество точек,которое образуется при вращении некоторой плоской линии l вокруг оси.

Линия l называется меридианом поверхности вращения, а ось - её осью вращения. Отметим, что при вращении меридиана вокруг оси каждая его точка описывает окружность.

Рассмотрим поверхность, полученную вращением линии l вокруг оси Oz. Пусть линия l расположена в плоскости OYZ и задана уравнениями:

Уравнение вращающейся линии надо преобразовать так, чтобы оно стало уравнением поверхности вращения.

Пусть М(x; y; z) - произвольная точка поверхности. Через точку М проведем плоскость, перпендикулярную оси Oz; эта плоскость пересечет поверхность по окружности с центром в точке О` на оси Oz: O`(0; 0; z). Обозначим буквой N точку пересечения указанной окружности и линии l. Точка N имеет координаты (0; Y; Z). (Рис.8.6.)

Поскольку длины отрезков (O`N) и (O`M) равны между собой (как радиусы одной и той же окружности), т.е. и то .

Рис.8.6.

Т.к. точка , то отсюда (8.3.)

Итак, координаты произвольной точки M(x; y; z), принадлежащей поверхности вращения, удовлетворяют уравнению (8.3.).

Уравнение (8.3.) и является уравнением поверхности вращения(поверхность полученная вращением линии l, лежащей в плоскости Ozy, вокруг оси Oz).

Замечание: Уравнение (8.3.) поверхности вращения получается из уравнения линии l в результате следующих формальных действий: заменяют «y» на « ».

Аналогично, если ту же линию l вращать вокруг оси Oy, то полученная поверхность вращения будет иметь уравнение .

Если линия l лежит в плоскости Oxy и задана уравнениями то уравнения поверхностей, полученных от вращения l вокруг осей x или y, имеют соответственно вид: или .

Пример 8.3.1. Составить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы вокруг оси Ох.

Решение:

Пример 8.3.2. Окружность радиуса r вращается около прямой l, лежащей в той же плоскости, что и окружность, и отстоящей от центра С последней на расстоянии R. Составить уравнение поверхности вращения, при условии, что R > r.

Рис.8.7.

Решение: Примем плоскость окружности за плоскость ху, ось вращения - за ось у. С(R,0).

Уравнение окружности:

Уравнение поверхности вращения:

или , - поверхность 4-го порядка.

Замечание. Если R > r, то эта поверхность называется шаром.

8.4. Поверхности второго порядка заданные каноническими уравнениями

Метод сечений

Будем рассматривать различные поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями. Чтобы судить о форме этих поверхностей по виду их уравнений, будем использовать так называемый метод сечений.

Сущность метода сечений состоит в том, что рассматриваются линии пересечения данной поверхности с различными плоскостями.

Во многих случаях полезно рассекать поверхность плоскостями параллельными одной из координатных плоскостей, или плоскостями координат.

Зная ряд сечений, получаем представление о самой поверхности.