Эллипсоид

Определение 8.4.1. Эллипсоидом называется поверхность имеющая уравнение:

(8.4.), где a, b, c, - положительные числа.

Исследуем форму эллипсоида, пересекая его: а) координатными плоскостями; б) плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Линия пересечения эллипсоида с плоскостью z = 0 определяется системой уравнений: или

Эта линия - эллипс с полуосями a и b, симметричный относительно плоскостей ху и xz.

Сечение эллипсоида плоскостью у = 0 есть эллипс с полуосями а и с.

Сечение эллипсоида плоскостью х = 0 есть эллипс с полуосями b и c.

Рис.8.8.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости ху. Такие плоскости имеют уравнение z = h, и, следовательно, интересующие нас сечения задаются системой уравнений: , если , то и в сечении получается эллипс с полуосями , . Полученные сечения позволяют построить искомую поверхность (Рис.8.8.) называемую эллипсоидом.

Отрезки a, b, c называются полуосями эллипсоида.

При a = b = c эллипсоид превращается в сферу:

Замечание:

Если a, b, c попарно не равны, то эллипсоид называется трёхосным.

Если какие-нибудь две полуоси равны, то эллипсоид является поверхностью вращения вокруг третьей оси.

Пример 8.4.1.1. Привести к каноническому виду:

а)

Решение: Выделим полные квадраты:

производим параллельный перенос осей координат в т.O’(1;1;1)

или - эллипсоид (полуоси 3,2 и 1)

Пример 8.4.1.2.

Решение: Выделим полные квадраты:

начало координат в точку (3,0,-2)

- эллипсоид с полуосями (12,6,4) и центром в точке (3;0;-2), оси параллельны осям координат.