Задачи и упражнения для самостоятельной работы.

1. Докажите, что в евклидовом пространстве : а) если (x,y)=0 для каждого элемента , то ; б) если (x,y)=(x,z) для каждого элемента , то y=z .

2. Докажите теорему Пифагора в евклидовом пространстве: если (x,y)=0, то . Сформулируйте и докажите обратную теорему.

3. Дан n- мерный куб с ребром единичной длины.

а) Какие элементы евклидова пространства можно считать диагоналями куба?

б) Найдите длины диагоналей куба.

в) Найдите угол между диагональю и ребром, выходящими из одной вершины куба.

4. Пусть в евклидовом пространстве дан ортогональный базис . Докажите, что для любого x из его координаты вычисляются по формуле .

5. Докажите, что для любого x из евклидова пространства выполняется равенство .

6. Пусть в линейном пространстве R₂ фиксирован базис и произвольные элементы x, y имеют разложения .

а) Можно ли в линейном пространстве R₂ ввести скалярное произведение по формуле:

1⁰) 2⁰)

3⁰)

б) Вычислите скалярное произведение многочленов f₁(x)=1+x и f₂(x)=-3x, их длины и угол между ними в случаях 2⁰ и 3⁰ п. а), если в пространстве P₁ фиксирован базис : e₁=1, e₂=1+x.

7. Покажите, что в любом линейном пространстве R_n при фиксированном базисе можно ввести скалярное произведение по формуле , где .

8. Пусть y – фиксированный элемент эвклидова пространства , a – фиксированное действительное число. Является ли множество всех элементов x , для которых (x,y)=a, линейным подпространством пространства ?

9. Линейно-зависимы или линейно не зависимы вектора?

а) б)

в) г)

10. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через вектора .

А) б)

11. Найти координаты вектора в базисе