Евклидово пространство

Определение 4.5.1.

Линейное пространство Еⁿ называется евклидовым если в этом пространстве введена операция скалярного умножения векторов, ставящая в соответствие " Є R однозначно определённое число (x,y) Є R , называемое скалярным произведением векторов и и удовлетворяющая следующим аксиомам :

1)

2)

3)

4)

Линейные пространства V₂ и V₃ являются евклидовыми пространствами если операцию скалярного умножения определить как

где j- угол между векторами.

когда один из векторов равен нулю или cosj =0Юj=p/2

4.6. Ортогональность векторов в Е^п.

Определение 4.6.1.

Вектора называются ортогональными если (x,y)=0.

Определение 4.6.2.

Система векторов называется ортогональной , если вектора попарно ортогональны .

Определение 4.6.3.

Ортогональная система x₁,…,x_k называется ортонормированной , если пx₁п=…=пx_nп=1

Определение 4.6.4.

базис l₁…l_n пространства Е^п называется ортонормированным если

Пример 4.6.1. В линейном пространстве Rⁿ

базис

……………..

является ортонормированным базисом

Выберем в R³ произвольную точку M и построим вектор координата т. M (x,y,z) есть координата вектора (см.Рис.4.6.).

Рис. 4.6.

В линейном пространстве V₃ базис является ортонормированным. Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору виден из конца вектора против часовой стрелки.

– единичные орты ,

Тогда вектор представлен в разложении по базису векторов .

Совокупность т. О и базисных векторов называется прямоугольной системой координат в пространстве R³.

Введение ортонормированного базиса позволяет вычисления скалярного произведения свести к числовым выражениям.

Контрольные вопросы и задания.

1. Что такое линейное пространство?

2. Может ли линейное пространство состоять из: а) двух элементов; б) одного элемента; в) 100 элементов?

3. Образует ли линейное пространство множество всех действительных чисел с обычными (известными из школьного курса) операциями сложения и умножения на число из поля: а) K₀ ; б) K рациональных чисел ?

4. Могут ли в линейном пространстве существовать два нулевых элемента?

5. Что понимается под операцией вычитания в линейном пространстве?

6. Справедливо ли равенствоθ = - θ ?

7. Пусть x - некоторый элемент линейного пространства над полем K, а b -число из поля K. Что можно сказать о x и b , если известно, что bx = θ ?

8. Какие элементы линейного пространства называются линейно независимыми?

9. Можно ли утверждать, что элементы e₁,e₂, ... ,e_n линейного пространства R линейно независимы, если данный элемент x линейного пространства R единственным образом выражается в виде линейной комбинации указанных n элементов ?

10. Пусть в линейном пространстве R даны n линейно независимых элементов e₁,e₂, ... ,e_n . Что еще надо потребовать, чтобы указанная совокупность элементов была базисом в данном линейном пространстве ?

11. С какой целью вводится базис в линейном пространстве?

12. Сколько базисов имеется в каждом линейном пространстве?

13. Пусть в линейном пространстве даныn линейно независимых элементов. Что еще надо потребовать, чтобы размерность этого линейного пространства была равна n ?

14. Как связаны между собой размерность линейного пространства и число элементов в базисе этого линейного пространства? Является ли это соответствие взаимным?

15. Что называется скалярным произведением элементов x, y в евклидовом пространстве?

16. Как определяется угол между элементами евклидова пространства?

17. Как запишется скалярное произведение элементов x, y из евклидова пространства в произвольном базисе , если известны координаты этих элементов в базисе ?

18. Докажите, что если ненулевые элементы x,y из евклидова пространства ортогональны, то они линейно независимы. Верно ли обратное утверждение?

19. Как с помощью произвольного базиса евклидова пространства построить ортонормированный базис?

20. Сколько ортонормированных базисов можно указать в евклидовом пространстве ?

21. Как в ортонормированном базисе запишется скалярное произведение элементов x, y ?