Координаты вектора

Определение 4.4.1.

Коэффициенты разложения вектора в базисе [ ] линейного пространства W называют коэффициентами вектора x в этом базисе

координаты вектора запишем как:

или или

Теорема 4.4.1.

При сложении векторов их координаты в заданном базисе складываются , при умножении на число – умножаются на это число .

Доказательство:

Пример 4.4.1.

Выяснить линейно зависимы или линейно независимы вектора в R⁴

={1,1,1,1}, ={1,2,1,1}, ={1,1,2,1}

Составим матрицу и определим её ранг

значит – линейно независимые вектора .

Если rang(A) < min( m , n ), то какая либо строка или столбец матрицы линейная комбинация других строк или столбцов т.е. вектора линейно зависимы . Чтобы ответить на вопрос образуют ли вектора базис , нужно ответить на вопрос линейной зависимости или независимости вектора и учесть , что базис в Rⁿ образуют любые n линейно независимых векторов .

Пример 4.4.2.

Образуют ли вектора ={1,1,1}, ={1,1,2}, ={1,2,3} базис в R³

Составим матрицу и приведем ее к треугольному виду:

следовательно линейно независимые и образуют базис .

Задача 4.4.1. Найти координаты вектора =( x₁ x₂ … x_n) в базисе ( ) пространства Rⁿ. Где

= (l₁₁ l₁₂ …l_1n), ......... =(l_n1 l_n2 …l_nn) если ( ) образуют базис то

в матричном виде:

т.е. чтобы найти необходимо решить систему уравнений относительно координат с расширенной матрицей:

координаты должны однозначно определять вектор , система должна иметь единственное решение, т.к. является Крамеровской.

Пример 4.4.3. Найти координаты вектора в базисе пример 4.4.2.

Решение: Запишем в разложении по базису:

Перейдем к системе и решим методом Гаусса:

Ответ: Координата вектора в базисе :{1;2;3}