Линейная зависимость системы векторов

Пусть даны векторы x₁, x₂, x₃ … x_k Є W и числа a_i Є R , i=

Определение4.2.1. Линейная комбинация векторов x₁,x₂ … x_k Є W

a₁х₁+a₂х₂+ … + a_kх_k

называется тривиальной, если все a_i=0 . Если $ хотя бы один a_i№0 то линейная комбинация называется нетривиальной .

Определение4.2.2.

Система векторов x₁,x₂ … x_k называется линейно зависимой если $ не тривиальная линейная комбинация векторов равная нулевому вектору .

Система называется линейно независимой если нулевому вектору равна только тривиальная линейная комбинация .

Теорема 4.2.1.

Система векторов x₁,x₂ … x_k линейно зависима когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через другие .

Доказательство: Пусть дана линейно зависимая система векторов:

a₁х₁+… +a_iх_i+ … + a_kх_k = q

x₁,x₂ … x_k- линейно зависима Юa_i№0 , выразим x_i

, пусть

тогда , т.е. x_iпредставлен в виде линейной комбинации векторов x₁....x_k , что требовалось доказать.

В геометрических пространствах V₂ и V₃ понятия коллинеарность и компланарность обозначают линейную зависимость векторов .

Теорема 4.2.2.

Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы .

Доказательство:

Достаточно убедиться в том что один из векторов является линейной комбинацией остальных .

Пусть среди данных векторов не ни одной пары коллинеарных. Приведем их к общему началу

Рис.4.4.

т.е. есть линейная комбинация и

Докажем что представление единственно методом от противного:

Пусть ,

если то т.е. вектора коллинеарные, мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

Следствие.

Для того чтобы два вектора и были линейно независимы , необходимо и достаточно , чтобы они были неколлиниарны .

Теорема 4.2.3.

Всякие четыре вектора в пространстве линейно зависимы .

Доказательство:

а)Среди этих векторов существует тройка компланарных , например а,в,с, тогда по теореме 4.2.1. для всех четырех т.е. - есть линейная комбинация .

б)Произвольно расположенные вектора приведём к общему началу. Через точку М конец вектора проведём плоскости соответственно параллельные трём плоскостям, определяемым парами векторов (Рис.4.5.)

Рис.4.5.

Получим параллелепипед диагональю которого является вектор .Очевидно :

следовательно:

есть линейная комбинация ,т.е. вектора линейно зависимы .

Можно также показать:

1)Если число данных векторов в пространстве больше четырех , то они также линейно зависимы .

2)Для того чтобы три вектора в пространстве были компланарны необходимо и достаточно , чтобы они были линейно зависимы .

3)Для того чтобы три вектора были линейно независимы , необходимо и достаточно чтобы они были некомпланарны.

Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.