Понятие линейного пространства

Пусть дано непустое множество W элементов x,y,z, .... и множество всех действительных чисел R .

Определение 4.1.1. Множество W называется линейным пространством, если в нем введены: операция сложения , ставящая в соответствие любой паре элементов (x , у) Є W однозначно определенный элемент (x + у) Є W , называемый суммой элементов x+y, и операция умножения на число , ставящая в соответствие "х Є W и "a Є R однозначно определенный элемент aх Є W , называемый произведением элемента х на число a , причем выполняются следующие равенства:

1) х+у=у+х , "x , у Є W

2)(x+y)+z=x+( y+z) "x , y , z Є W

3) $ элемент Q ,называемый нулевым , такой что x+Q=x "x Є W

4)"x Є W, $ -x Є W: x+(-x)=Q

5)1×x=x , "x Є W

6)a(bx)= (ba)x , "x Є W

7) (a+b)x= ax+bx , "x Є W

8) a(x+y)= ax+ay , "x Є W

Эти равенства получили название аксиом линейного пространства. Элементы линейного пространства принято называть векторами. Понятие линейного пространства как обобщение уже известных множеств объектов, в которых введены операции сложения и умножения , удовлетворяющие выше описанным аксиомам.

Наиболее известными примерами линейных пространств является множества векторов на плоскости (V₂) и в пространстве (V₃). Кратко напомним , что элементами множеств V₂ и V₃ являются направленные отрезки сложение которых осуществляется по правилу параллелограмма или треугольника.

Рис.4.2.

Рис. 4.1.

Рис.4.3.

Вектора лежащие на одной или параллельных прямых называются коллинеарными, а вектора лежащие параллельных плоскостях – компланарные.

Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число l называется вектор , коллинеарный вектору и имеющий длину =ЅlЅ×Ѕ Ѕи тоже на-

правление , что и если l>0 и противоположное если l<0 .

Отсюда следует что если =l , то вектора коллинеарны.

Роль нулевого элемента выполняет ноль – вектор , длина которого

Ѕ Ѕ=0. Противоположным для вектора будет вектор

: сам вектор имеет противоположное направление.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным

Ѕ Ѕ=1. Единичный вектор называется ортом.

Каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления

Вектора равны если один может быть получен из другого путем параллельного переноса.

Следующим , весьма важным , примером линейного пространства является арифметическое пространство Rⁿ .Элементами этого пространства являются упорядоченные наборы и вещественных чисел x=(x₁ x₂ . . . x_n) Є Rⁿ , для которых операции сложения умножения на число определяются следующим образом :

x+y=(x₁+y₁, x₂+y₂, … , x_n+y_n)

Понятие линейного пространства было введено для того , чтобы не изучать каждое новое множество в отдельности .