Нахождение обратной матрицы.

По определению обратной матрицы А×А^-1=I. Обозначим А^-1=(b_ij), , , тогда :

рассмотрим , как получается i-ый столбец единичной матрицы , т.е.

(1 на i-м месте)

отсюда ясно, что для определения i-го столбца А^-1нужно решить систему с расширенной матрицей, а для определения всех столбцов n-систем:

Дело облегчится тем что все эти системы имеют одну основную матрицу А, что позволяет записать все системы в виде :

Пример 3.5.1. Найти обратную матрицу для матрицы А:

Решение: Присоединим справа к матрице A единичную матрицу второго порядка, и с помощью элементарных преобразований получим слева единичную матрицу.

Ответ: .

Пример 3.5.2. Найти обратную матрицу для матрицы А:

Решение: Присоединим справа к матрице A единичную матрицу третьего порядка:

Ответ:

Пример 3.5.3. Найти обратную матрицу для матрицы А:

Решение:

обратной матрицы не существует, т.к. определитель матрицы A равен нулю.

Контрольные вопросы и задания.

1. Какая система линейных уравнений называется совместной?

2. При каких условиях система m линейных уравнений с n неизвестными совместна?

3. Как найти частное решение неоднородной системы линейных уравнений?

4. Как найти все множество решений неоднородной системы линейных уравнений?

5. Какая система называется Крамеровской?

6. В чем заключается матричный способ решения систем?

7. Какая система называется однородной?

8. Сколько решений может иметь однородная система уравнений?

9. Какие элементарные преобразования матриц Вам известны?

10. Как вычислить определитель матрицы, ранг матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы?

11. Для каких систем применяется метод Гаусса?

12. Изложите метод Гаусса.