Системы линейных уравнений общего вида

При решение системы прежде всего нужно выяснить ее совместность. Ответ на этот вопрос дает теорема Кронекера-Капелли.

Определение 2.3.1.

Пусть дана система m-уравнений с n – неизвестными А×X=В

Матрица вида :

= (A/B)

Называется расширенной матрицей системы линейных уравнений .

Теорема 2.3.1. (критерий совместности )

Система А×X=В совместна тогда и только тогда , когда (rangА= rangB) ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство:

Необходимость.

Если система совместна , то $(x₁⁰… x_n⁰): А¹х₁⁰+ А²х₂⁰+…+ Аⁿх_n⁰= b

т.е. b- есть линейная комбинация столбцов матрицы А и по Теореме 1.8 rangA= rang(A/b)

Достаточность.

Если rangА= rangB=r то выберем в А базисный минор М_r№0 этот же минор будет базисным в матрице В. Применим теорему о базисном миноре . По этой теореме столбец ''B,, есть линейная комбинация базисных столбцов т.е. ''В,, есть линейная комбинация столбцов матрицы А следовательно система совместна.

Итак, если rangA№rang(A/b) то системаА×X=В несовместна. Пусть теперь А_mxn, (А/В)_mx(n+1) основная и расширенная матрицы системы и rangА= rang(А/В) =r=min(m,n) т.е. А матрица полного ранга .Возможны следующие случаи :

1)m=n т.е. число уравнений равно числу неизвестных , такая система будет крамеровской .

2)m>n, тогда r(A)= r(A/в)=n, (m-n) уравнений является линейной комбинацией n-уравнений , входящих в базисный минор . Отбрасывая эти (m-n) уравнений , получаем крамеровскую систему

Пример 2.3.1. Решить систему:

Решение:

Легко убедиться , что r(A)=r(A/b)=3 n<m=4 4-3=1

Одно уравнение является лишним. Взяв первые три уравнения, коэффициенты при которых входят в базисный минор, получаем крамеровскую систему рассмотренного выше случая .

Отбрасывание лишних уравнений основано на том, что линейная комбинация тождеств есть снова тождество

3) m<nЮ r(A)= r(A/в)=m и система имеет (n-m)- переменных для однозначного определения которых хватает (n-m) уравнений. Для решения системы выделим в матрице A базисные столбцы:

Все неизвестные, коэффициенты которых вышли в базисный минор M_r называются закреплёнными неизвестными, остальные (n-r)= (n-m) переменных – свободными .Данная система эквивалентна системе:

Перенося в правую часть слагаемые со свободными переменными, получим систему в виде:

Если теперь придать некоторые значения свободным переменным, то получим крамеровскую систему. Подчеркнём, что свободным переменным можно придать бесконечное множество значений и следовательно получить бесконечное множество решений системы. Для выяснения сути изложенного рассмотрим систему:

Пример 2.3.2.

Поскольку r(A)= r(A/в)=3 то 4-3=1 переменных являются свободными. Пусть базисными являются первые три столбца Ю x₁ ,x₂ ,x₃ закреплённые переменные, x₄ – свободная переменная Перенося четвёртый столбец в правую часть, имеем :

И используя решение примера 2.2.1., получаем

Это общее решение системы в виде

x_i=f( x₄ )

Задавая x₄ различные значения, будем получать различные частные решения системы. Очевидно таких решений бесчисленное множество .

4)пусть теперь r(A)= r(A/в)= r< min(m,n)Ю r< m и (m-r)- уравнений является линейной комбинацией остальных уравнений. Отбрасывая эти уравнения приходим к рассмотренным ранее случаям.