Основные понятия

Определение 2.1.1.

Системой m линейных алгебраических уравнений с n-неизвестными х₁ х₂ … х_n

называется система вида:

(2.1)

где a_ij – коэффициенты системы, b_i - свободные члены , , .

Первый индекс у коэффициентов указывает на номер уравнения, второй на номер неизвестного.

Определение 2.1.2.

Решением системы (1) называется совокупность

чисел (х₁⁰, х₂⁰ , … х_n⁰) подстановка которых в систему вместо неизвестных обращает все уравнения в тождества .

Определение 2.1.3.

Система у которой нет ни одного решения , называется не совместной . Совместной называется система , имеющая хотя бы одно решение. Совместная система , имеющая единственное решение называется определенной , в противном случае неопределенной .

Рассмотрим другие формы записи системы (2.1) ,для чего введем обозначения:

Матрицу А называют основной матрицей системы , матрицы b_mx1, x_nx1 принято называть вектором свободных членов и вектором неизвестных.

Легко убедиться , что умножение матрицы А на вектор Х по правилу умножения двух матриц дает левую часть системы (2.1.). Поэтому произведение А×X является столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица B. Поэтому систему записывают в форме матричного уравнения.

(2.1.)ЫА×X=b

Следующая запись связана с операцией сложения:

Если i-ый столбец обозначить через Аⁱ то то более кратко :

А¹х₁+ А²х₂+…+ Аⁿх_n= b

Отсюда видно ,что решить систему это значит разложить правую часть по столбцам.

Определение 2.1.4.

Две системы с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными , если множество решений одной системы совпадает с множеством решений другой системы.

Система (2.1) может иметь 0, 1 или Ґ много решений.