Определение 1.8.2.

Пусть RangА=r ,тогда любой минор порядка r (" М_r№0) называется базисным минором , а строки и столбцы , в которых он расположен , называются базисными строками и столбцами

Теорема 1.8.1. (о базисном миноре)

Любой столбец (строка) матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов (строк).

Доказательство : пусть М_r№0 расположен в левом верхнем углу матрицы А; А¹,А²…,А^r - базисные столбцы матрицы A.

Покажем ,что

А^к=a₁А¹+a₂А²+…+a_rА^r

1)1Јк Ј r Ю А^к= 0×А¹+…+1×А^к+…+0×А²Ю А^к – линейная комбинация

2)к > r ,будем окаймлять М_r№0 рассмотрим М_r+1

Пусть а) s Ј r две одинаковых строки Ю М_r+1=0

б) s > r ЮМ_r+1=0, т.к. RangА=r ,такимобразомМ_r+1=a_s1 ×A_s1 + … + a_sr×A_sr + a_sk×M_r ==0 и

Поскольку -A_si\M_r=a_i не зависит от s то

Чтобы доказать справедливость теоремы для строк нужно М_r+1 разложить по столбцу.

Теорема 1.8.1.

Определитель матрицы равен нулю, когда хотя бы один из ее столбцов линейно выражается через другие.

Теорема 1.8.2.

Ранг матрицы при умножении на не вырожденую матрицу не меняется т.е. ¦Q¦№0 Юrang(AQ)= rang(A)

Теорема 1.8.3.

Если к столбцам матрицы приписать или вычеркнуть столбец , который является линейной комбинацией столбцов этой матрицы, то ранг матрицы не изменится.

Контрольные вопросы и задания.

1. Что называется рангом матрицы?

2. Какая матрица называется матрицей полного ранга?

3. Какой минор называется базисным?

4. Сформулируйте теорему о базисном миноре?

5. Необходимые и достаточные условия равенства определителя матрицы?

6. Как изменится ранг матрицы, если к ней добавить: а) один столбец; б) два столбца?

7. Докажите, что максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов.