русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Формулы двойного аргумента


Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 5838; Нарушение авторских прав



Здесь речь пойдет о формулахтригонометрии, позволяющих выразить Эти формулы обычно называют формулами двойного аргумента. Название, может быть, не очень удачно, как, впрочем, и такие названия, как "формулы приведения», «синус суммы», «косинус разности» и т.д., но это не суть важно: главное, что есть некий словесный символ, позволяющий посвященным понять, о чем идет речь.
Рассмотрим выражение sin2х, представив при этом 2х в виде х+х. Это позволит применить к выражению sin (х+ х)формулу «синус суммы» (см. § 21). Имеем:


Рассмотрим выражение соs2х, представив при этом 2х в виде х+х. Это позволит применить к выражению соs (х+х) формулу «косинус суммы» (см. § 21). Имеем:


Рассмотрим выражение tg 2х, представив при этом 2х в виде х+х. Это позволит применить к выражению tg (х+х) формулу «тангенс суммы» (см. § 23). Имеем:


Формулы «синус двойного аргумента» и «косинус двойного аргумента» справедливы для любых значений аргумента (никаких ограничений нет), тогда как формула «тангенс двойного аргумента» справедлива лишь для тех значений аргумента х, для которых определены tg х и tg 2 х, а также отличен от нуля знаменатель дроби, т.е.
Разумеется, формулы двойного аргумента можно применять и в тех случаях, когда место аргумента х занимает более сложное выражение. Так, справедливы следующие соотношения:


И, как всегда, любую из трех полученных в этом параграфе формул двойного аргумента можно использовать в написании как справа налево, так и слева направо. Например,


Пример 1. Доказать тождества:


Решение: а) Воспользуемся тем, что 1 = sin2 х + соз2 х, и формулой синуса двойного аргумента. Получим:


Пример 2. Сократить дробь
Решение. В числителе дроби воспользуемся доказанным в примере 1 а тождеством, а в знаменателе — формулой косинуса двойного аргумента. Получим:




Пример3.Вычислить:
Решение: а) Заданное выражение представляет собой правую часть формулы косинуса двойного аргумента. Заметив это, получим


б) Заданное выражение представляет собой правую часть формулы синуса двойного аргумента, но только не хватает множителя 2. Введя его, получим:


в) Этот пример значительно сложнее, но зато он красивее предыдущих: здесь нужно догадаться умножить и разделить заданное выражение на 4соs18°. Что это даст? Смотрите:


Как видите, мы дважды воспользовались формулой синуса двойного аргумента. Чтобы довести вычисления до конца, заметим, что 72°=90°-18°. Значит, sin 720=sin (90°-180)=соs180. Таким образом,


Пример 4.Доказать тождество
Решение. Преобразуем левую часть доказываемого тождества:


Умножив и числитель, и знаменатель последней дроби на 2 («подгоняем» знаменатель под формулу синуса двойного аргумента), получим:


Итак, что и требовалось доказать.
Замечание. Еще раз обращаем ваше внимание на то, что тождество доказано лишь для допустимых значении х, конкретнее для
для значений х, при которых имеющиеся знаменатели отличны от нуля.
Пример 5. Зная, что


Решение: а) Воспользуемся формулой sin2 х + соз2 х = 1. Имеем:


б) Для вычисления sin2х воспользуемся формулой sin 2х = 2 sin хсоз x.
Значение соз х дано в условии, а значение sin х найдем следующим образом. Во-первых, мы уже знаем, что
Во-вторых, по условию аргумент х принадлежит четвертой четверти, а в ней синус отрицателен. Это значит, что из двух значении


в) tg2х вычислим, воспользовавшись определением тангенса:


г) Для вычисления сначала воспользуемся формулой приведения:
Применим к выражению соз4x формулу косинуса двойного аргумента: соз4х=соз2 2х - sin22х. Воспользуемся тем, что значения соз 2х и sin 2xуже найдены нами:


Пример 6. Решить уравнение sin4х-соз2х=0.
Решение. Если в левой части уравнения применить к выражению sin4x формулу синуса двойного аргумента, то удастся разложить левую часть на множители. Имеем последовательно:

 

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

 

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

· арксинус (обозначение — это угол, синус которого равен )

· арккосинус (обозначение: — это угол, косинус которого равен и т.д.)

· арктангенс (обозначение: ; в иностранной литературе )

· арккотангенс (обозначение: ; в иностранной литературе или )

· арксеканс (обозначение: )

· арккосеканс (обозначение: ; в иностранной литературе )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку.
Изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п., — это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1; — «−1» («минус первая степень») определяет функцию обратную функции

Основное соотношение[править | править вики-текст]

Функция arcsin[править | править вики-текст]

График функции .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, выраженного в радианах, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

· при

· при

· (область определения),

· (область значений).

Свойства функции arcsin[править | править вики-текст]

· (функция является нечётной).

· при .

· при

· при

·

·

·

Получение функции arcsin[править | править вики-текст]

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — . Так как для функции на интервале каждое значение функции достигается при единственном значении аргумента, то на этом отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику функции на отрезке относительно прямой (графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов координатной плоскости )

Функция arccos[править | править вики-текст]

График функции .

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.

· при

· при

· (область определения),

· (область значений).

Свойства функции arccos[править | править вики-текст]

· (функция центрально-симметрична относительно точки ), является индифферентной.

· при

· при

·

·

·

·

·

·

Получение функции arccos[править | править вики-текст]

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — На этом отрезке строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику на отрезке относительно прямой

Функция arctg[править | править вики-текст]

График функции .

Арктангенсом числа m называется такое значение угла , выраженный в радианах, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

· при

· при

·

·

Свойства функции arctg[править | править вики-текст]

·

·

· , при x > 0.

·

Получение функции arctg[править | править вики-текст]

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — На этом отрезке строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале существует обратная , график которой симметричен графику на отрезке относительно прямой

Функция arcctg[править | править вики-текст]

График функции

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.

· при

· при

·

·

Свойства функции arcctg[править | править вики-текст]

· (график функции центрально-симметричен относительно точки

· при любых

·

·

Получение функции arcctg[править | править вики-текст]

Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз — . На этом отрезке строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале существует обратная функция , график которой симметричен графику на отрезке относительно прямой

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, ) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы:

Функция arcsec[править | править вики-текст]

Функция arccosec[править | править вики-текст]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править вики-текст]




Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править вики-текст]

Неопределённые интегралы[править | править вики-текст]

Для действительных и комплексных x:

Для действительных x ≥ 1:

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[править | править вики-текст]

Прямоугольный треугольник ABC

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике, эти функции от отношений сторон сразу дают угол:

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

Связь с натуральным логарифмом[править | править вики-текст]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Формулы сложения | Обратная функция


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.017 сек.