Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f(x) > g(x) или f(x) <g(x) называется неравенством с одной переменной. Множество Х называется областью его определения.
Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство – это значит найти множество его решений.
В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.
Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.
Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.
Теорема 1.Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(x) > g(x) и f(x) + h(x) > g(x) + h(x) равносильны на множестве Х.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используют при решении неравенств:
1) Если к обеим частям неравенства f(x) > g(x) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(x) + d > g(x) + d, равносильное исходному.
2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 2.Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(x) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(x) > g(x) и f(x) × h(x) > g(x)× h(x) равносильны на множествеХ.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(x) × d > g(x) × d, равносильное данному.
Теорема 3.Пусть неравенство f(x) > g(x) задано на множестве Х и h(x) – выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х выражение h(x) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(x) > g(x) и f(x) × h(x) < g(x)× h(x) равносильны на множестве Х.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(x) × d < g(x) × d, равносильное данному.
Задача. Является ли число х = 5 решением неравенства 2х + 7 > 10 – х, х Î R? Найти множество решений этого неравенства.
Решение. Число х = 5 является решением неравенства 2х + 7 > 10 – х, так как 2×5 + 7 > 10 – 5 – истинное числовое неравенство. А множество его решений – это промежуток (1; ¥), который находят, выполняя преобразование неравенства 2х + 7 > 10 – х Þ 3х > 3 Þ х > 1.
Задача. Решить неравенство 5х – 5 < 2х + 16 и обосновать все преобразования, которые будут выполняться в процессе решения.
Решение.
Преобразования
Обоснование преобразований
1. Перенесем выражение 2х в левую часть, а число –5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5х – 2х < 16 + 5.
Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное исходному.
2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3х < 21.
Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства – они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного.
3. Разделим обе части неравенства на 3:х < 7.
Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному.
Решением неравенства х < 7 является промежуток (–¥; 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х – 5 < 2х + 16 является промежуток (–¥; 7).
Задача. Равносильны ли неравенства 2х + 7 > 10 и 2х > 3?
Решение. Данные неравенства равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток .
Решите уравнение:
Решение. Постараемся найти как можно большее количество решений данного уравнения. Подробное объяснение решений смотрите в видеоуроке.
Способ №1. Решение возведением в квадрат. Просто возводим обе части уравнения в квадрат. При этом не забываем, что подобное преобразование не является равносильным. Из-за этого могут появиться посторонние корни, поэтому полученные решения необходимо будет проверить прямой подстановкой в исходное уравнение.
Путем прямой подстановки полученных решений в исходное уравнение убеждаемся, что посторонних корней среди них нет. На самом деле в данном конкретном задании отсутствует необходимость проверки корней. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат не может привести к приобретению посторонних решений. Подумайте самостоятельно, почему это так.
Способ №2. Метод интервалов. Не совсем верное название, но мы его здесь употребим, поскольку в методической литературе оно встречается.Для решения нам потребуется найти значение переменной при котором подмодульное выражение обращается в ноль: Наносим эту точку на числовую прямую и определяем знаки подмодульного выражения на полученных промежутках.
Числовая прямая
Далее на каждом промежутке раскрываем знак модуля в соответствии с полученными данными:
при подмодульное выражение отрицательно, и модуль раскрывается со знаком минус: или Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, корней нет.
при подмодульное выражение положительно, и модуль раскрывается со знаком плюс: или Корни уравнения и Оба принадлежат рассматриваемому нами промежутку.
Способ №3. Замена уравнения смешанной системой.Известно, что:
Для тех, кто не знает, какой именно смысл вкладывается в математике в фигурные и квадратные скобки, рекомендую ознакомиться со статьей «Решение систем логарифмических и показательных неравенств». То есть в нашем случае:
Легко заметить, что первое неравенство выполняется при любом значении Следовательно, в составе системы на него вообще можно не обращать внимания. Ситуация несколько упрощается:
Способ №4. Графический.Строим в одной системе координат графики функции и Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями уравнения. Метод менее точный, но более наглядный. Видно, что это все те же и
Соответствующие графики функций на одном координатном поле.
На этом список стандартных способов решения данного уравнения с модулем исчерпан. Придумайте свои нестандартные.
.
при котором подмодульное выражение обращается в ноль: 
Наносим эту точку на числовую прямую и определяем знаки подмодульного выражения на полученных промежутках.
подмодульное выражение отрицательно, и модуль раскрывается со знаком минус: 
или 
Дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, корней нет.
подмодульное выражение положительно, и модуль раскрывается со знаком плюс: 
или 
Корни уравнения 
и 
Оба принадлежат рассматриваемому нами промежутку.
Следовательно, в составе системы на него вообще можно не обращать внимания. Ситуация несколько упрощается:
и 
Абсциссы точек их пересечения будут являться решениями уравнения. Метод менее точный, но более наглядный. Видно, что это все те же 