Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом Крамера.

Первоначально находим определитель матрицы А и если он равен нулю , то обратной матрицы не существует.

Если определитель отличен от нуля , то находим союзную матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А.

Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Следующий способ обращения матриц основан на применении элементарных преобразований матрицы и состоит в реализации следующего алгоритма.

1. К матрице справа приписывается единичная матрица того же порядка, что и матрица Тем самым получается матрица

2. С помощью элементарных преобразований (определение 3.4), осуществляемых над матрицей на месте матрицы должна быть получена единичная матрица.

3. Матрица, полученная таким образом на месте единичной матрицы, и будет обратной для матрицы

4) Начнем с уравнения AX = B и изложим два метода его решения.

Первый метод предполагает вычисление обратной матрицы A−1 (например, при помощи присоединенной матрицы) и дает запись решения матричного уравнения в виде X = A−1B. Действительно, подставляя X = A−1B в уравнение AX = B, получаем A(A−1B) = B, т.е. B = B, и X = A−1B является решением матричного уравнения AX = B. Более того, это решение единственно, так как для любого другого решения X 0выполнено тождество AX 0 = B, после умножения которого слева на A−1 оказывается, что A−1 (AX 0) = A−1B, т.е. (A−1 A)X 0 = X и, следовательно, X 0 = X .

Второй метод основан на элементарных преобразованиях строк блочной матрицы (A |B)и имеет своей целью преобразование ее к виду (E |B1), в котором вместо матрицы A стоит

единичнаяматрица E. Тогда матрица B1ибудетрешением уравнения. Если матрица B совпадает с единичной, то в этом частном случае получается метод элементарных преобразований

вычисления обратной матрицы.

Матричное уравнение X A = B также можно решить двумя способами. Если известна матрица A−1, то умножаем справа на A−1 матричное уравнение X A = B и после очевидных преобразований (X A)A−1 = BA−1, Х (AA−1 ) = BA−1, X E = BA−1 получаем ответ в виде произведения двух матриц X = BA−1.

Другой метод решения матричного уравнения X A = B состоит в транспонировании его левой и правой частей (X A)т = Bт, AтX т = Bт. После введения новой неизвестной матри- цы Y = X т получаем уравнение вида AтY = Bт, которое решается методом элементарных

преобразований.

ПравилоКрамера: СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера (11.1).Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

5) Минором порядка k матрицы A типа m×n называют определи- тель, который составлен из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов.

Минор М матрицы A называют базисным, если выполнены два условия:

а) он не равен нулю;

б) его порядок равен рангу матрицы A.

Теорема о базисном миноре:базисные строки (столбцы) матрицы A, соответствующие любому ее ба- зисному минору M , линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы A, не входящие в М , являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Следствие 12.1. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно независимы.

6)Теорема о базисном миноре:базисные строки (столбцы) матрицы A, соответствующие любому ее базисному минору M , линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы A, не входящие в М , являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Док-во: Н е о б х о д и м о с т ь. Если квадратная матрица A невырождена, то ее ранг равен ее поряд- ку, а ее определитель является базисным минором. Поэтому все строки (столбцы) являются базисными и по теореме 12.5 о базисном миноре они линейно независимы.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Если все строки (столбцы) квадратной матрицы A являются линейно независимыми, то они являются базисными. Действительно, если бы только некоторые из них были базисными, то, согласно теореме 12.5 о базисном миноре, оставшиеся были бы линейны- ми комбинациями базисных и, следовательно, строки (столбцы) матрицы A, согласно теореме

12.4, были бы линейно зависимыми. Так как все строки и столбцы квадратной матрицы A являются базисными, а им соответствует определитель матрицы, то он является базисным ми- нором и, следовательно, согласно определению 12.4, отличен от нуля, т.е. квадратная матрица A невырождена.