1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число;
2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число;
3) перестановку местами любых двух строк (столбцов).
8)Рангом матрицы называют число, которое равно максимальному порядку среди ее ненулевых миноров.
Метод окаймляющих миноров. Метод окаймляющих миноров, позволяющий найти один из базисных миноров матрицы, состоит в следующем. Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элемент матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевой минор является базисным (что утвержда- ет следующая ниже теорема). Этот процесс рано или поздно закончится из-за ограниченных размеров матрицы.
Метод элементарных преобразований.
С помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ранг же ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, соответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк.
9)
Ступенчатые матрицы- матрица типа m×n, если для любой ее строки выполнено следующее условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.
1∗. Если текущий элемент равен нулю, переходим к операции 2∗. Если же он не равен нулю,то строку, в которой расположен текущий элемент (текущую строку), добавляем с соответствующими коэффициентами к строкам, расположенным ниже, так, чтобы все элементы матрицы, стоящие в столбце под текущим элементом, обратились в нуль.
2∗. Если текущий элемент в некоторой строке матрицы равен нулю, то просматриваем матрицу в поисках строки сненулевым элемент в этом столбце. Меняем местами текущую и k-ю строки и возвращаемся к операции 1∗.
3∗. Если текущий элемент и все элементы под ним (в том же столбце) равны нулю, меняемтекущий элемент, смещаясь в матрице на один столбец вправо. Если такое смещение возможно,
т.е. текущий элемент находится не в самом правом столбце матрицы, то повторяем операцию 1∗.Если же мы уже достигли правого края матрицы и смена текущего элемента невозможна, то матрица имеет ступенчатый вид, и мы можем прекратить преобразования.
10)Критерий существования обратной матрицы: для того чтобы квадратная матрица A порядка n имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы det A = 0.
Начнем с уравнения AX = B и изложим два метода его решения.
Первый метод предполагает вычисление обратной матрицы A−1 (например, при помощи присоединенной матрицы) и дает запись решения матричного уравнения в виде X = A−1B. Действительно, подставляя X = A−1B в уравнение AX = B, получаем A(A−1B) = B, т.е. B = B, и X = A−1B является решением матричного уравнения AX = B. Более того, это решение единственно, так как для любого другого решения X 0выполнено тождество AX 0 = B, после умножения которого слева на A−1 оказывается, что A−1 (AX 0) = A−1B, т.е. (A−1 A)X 0 = X и, следовательно, X 0 = X .
Второй метод основан на элементарных преобразованиях строк блочной матрицы (A |B)и имеет своей целью преобразование ее к виду (E |B1), в котором вместо матрицы A стоит
единичнаяматрица E. Тогда матрица B1ибудетрешением уравнения.
Матричное уравнение X A = B также можно решить двумя способами. Если известна матрица A−1, то умножаем справа на A−1 матричное уравнение X A = B и после очевидных преобразований (X A)A−1 = BA−1, Х (AA−1 ) = BA−1, X E = BA−1 получаем ответ в виде произведения двух матриц X = BA−1.
Другой метод решения матричного уравнения X A = B состоит в транспонировании его левой и правой частей (X A)т = Bт, AтX т = Bт. После введения новой неизвестной матри- цы Y = X т получаем уравнение вида AтY = Bт, которое решается методом элементарных
преобразований.
11)Пусть дана квадратная матрица A порядка n. Матрицу A∗, транспонированную к матрице (Aij ) алгебраических дополнений, называют присоединенной. Как следует из доказательства теоремы если A — невырожденная матрица, то обратная к ней имеет вид A−1 = (1/detA)A∗.
Таким образом, чтобы для квадратной матрицы порядка n найти обратную матрицу, надо вычислить один определитель порядка n и составить присоединенную матрицу, т.е. вычислить n2 определителей порядка n − 1.
Для того чтобы квадратная матрица A порядка n имела обратную, необхо-
димо и достаточно, чтобы det A = 0.
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть A−1 — матрица, обратная к А. Тогда det(AA−1) = det E = 1, но, согласно свойству определителей, det(AA−1) = det A det A−1. Поэтому det A det A−1 = 1 и, следовательно, det A = 0.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть det A = 0. Обозначим через Aij алгебраическое дополнение
матрицы А, соответствующее элементу aij , т.е. Aij = (−1)i+jMij , где Mij — минор этого же
элемента.(дальше док-во смотреть через лекции)
12) Рангом матрицы называют число, которое равно максимальному порядку среди ее ненулевых миноров.
Для совместности СЛАУ Ax = b необходимо и достаточно, чтобы ранг ее
матрицы A был равен рангу ее расширенной матрицы (A|b).
Н е о б х о д и м о с т ь. Отметим, что ранг матрицы A СЛАУ Ax = b не превышает ранга расширенной матрицы (A | b). Поэтому нам достаточно показать, что ранг матрицы системы не меньше ранга ее расширенной матрицы. Если система совместна, то, записывая ее в вектор- ной форме, делаем вывод, что существуют такие значения неизвестных x1 , . . . , xn, для которых a1x1 + . . . + anxn = b, где ai — столбцы матрицы A, b — столбец свободных членов. Это означает, что последний столбец b в расширенной матрице системы является линейной комби- нацией остальных столбцов. Выберем какой-либо базисный минор матрицы A. Для простоты пусть он содержит строки с номерами 1, 2, . . . , k и столбцы с теми же номерами.
Согласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как для каждого j > k существуют такие λij ∈ R, i = 1, k, что aj = λ1ja1 + . . . + λkjak. Поэтому столбец
является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы A. Это означает, что М является также базисным минором и в расширенной матрице (во-первых, он ненулевой; во-вторых, если взять какой-либо окаймляющий минор M 0, то либо он будет минором матрицы A, т.е. нулевым, либо он будет содержать столбец b и, следовательно, не может быть ненулевым, так как его столбцы линейно зависимы). Поэтому Rg(A | b) = Rg A.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть Rg(A | b) = Rg A. Выберем в A базисный минор M (как и выше). Тогда он будет базисным и в матрице (A | b). Значит, столбец b можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов.Это означает, что СЛАУ совместна.
13) СЛАУ называют однородной, если каждое уравнение равно нулю. В противном случае ее называют неоднородной.
Пусть столбец x◦ — некоторое решение СЛАУ Ax = b. Произвольный столбец x является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление x = x◦ + y, где y — решение соответствующей однородной СЛАУ Ay = 0.
теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ:
Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (на- пример, по теореме 13.1 Кронекера — Капелли), а во-вторых, найти частное решение x◦ этой системы, чтобы свести ее к однородной системе.
14) Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (сокращенно СЛАУ ) представляет собой систему вида(координатная форма):
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1nxn = b1,
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В матричной форме записи эта система уравнений имеет вид ,
Для совместности СЛАУ Ax = b необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы A был равен рангу ее расширенной матрицы (A|b).
СЛАУ-совместная,если она имеет решения.
15) Любой набор из k = n − r линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ Ax = 0, где n — количество неизвестных в системе, а r — ранг ее матрицы A, называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.
Пусть дана однородная СЛАУ Ax = 0 с n неизвестными и Rg A = r. Тогда существует набор из k = n−r решений x(1), . . . , x(k) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решение.
J Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор матрицы A сосредоточен в верхнем левом углу, т.е. расположен в строках 1, 2, . . . , r и столбцах 1, 2, . . . , r. Тогда остальные строки матрицы A, согласно теореме 12.5 о базисном миноре, являются линейными комбинациями базисных строк. Для системы Ax = 0 это означает, что если значения х1, . . . , хn удовлетворяют уравнениям, соответствующим строкам базисного минора, т.е. первым r урав- нениям, то они удовлетворяют и остальным уравнениям. Следовательно, множество решений системы не изменится, если отбросить все уравнения начиная с (r + 1)-го. Сделав это, получим систему
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1nxn = 0,
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2nxn = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . .
r+2
ar1x1+ ar2x2+ . . . + arnxn = 0.
Разделим неизвестные на базисные x1, . . . , xr и свободные xr+1, . . . , xn, перенеся последние в правую часть, а в левой оставив базисные:
Если мы зададим произвольные значения свободных неизвестных xr+1, . . . , xn, то относи- тельно базисных неизвестных получим квадратную СЛАУ с невырожденной матрицей, ре- шение которой существует и единственно. Таким образом, любое решение однородной СЛАУ однозначно определяется значениями свободных неизвестных xr+1, . . . , xn. Рассмотрим следу- ющие k = n − r серий значений свободных неизвестных xr+1, . . . , xn:
x(1)
r+1
r+1
r+1 = 1,
x(1)
r+2 = 0,
.
x(1)
n = 0;
x(2) = 0, x(2) = 1,
.
n
x(2) = 0;
. . .
x(k) = 0, x(k) = 0,
r+2
.
n
r+j
x(k) = 1.
(14.3)
Здесь номер серии указан верхним индексом в скобках, а сами серии значений выписаны в виде
r+j
столбцов. В каждой серии x(i)
= 1, если j = i, и x(i)
= 0, если j = i.
Далее, i-й серии значений свободных неизвестных однозначно соответствуют значения x(i),
r
. . . , x(i)
базисных неизвестных. Значения свободных и базисных неизвестных в совокупности
дают решение системы.Cтолбцы
образуют фундаментальную систему решений. Так как эти столбцы по построению являются решениями однородной системы Ax = 0 и их количество равно k, то, в соответствии с определением фундаментальной систем решений.
16) Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (сокращенно СЛАУ ) представляет собой систему вида):
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1nxn = b1,
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2nxn= b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Теоремой о структуре общего решения однородной СЛАУ с помощью нормальной фундаментальной системы решений (14.4) однородной СЛАУ (14.1) множество всех решений
можно описать формулой
x = c1x(1) + . . . + ckx(k),
где постоянные сi, i = 1, k, принимают произвольные значения.
Согласно теореме 14.1, столбец (14.5) является решением рассматриваемой однородной СЛАУ
Ax = 0. Поэтому остается доказать, что любое решение g = g1, g2, . . . , gn
этой однородной
СЛАУ можно представить в виде (14.5). Рассмотрим столбец x = gr+1x(1) + . . . + gnx(k). Этот столбец совпадает со столбцом g по элементам с номерами r + 1, . . . , n и является решением СЛАУ (14.2). Поэтому столбцы g и x совпадают, так как решения системы (14.2) однозначно определяются набором значений ее свободных неизвестных xr+1, . . . , xn, а у столбцов g и x эти наборы совпадают. Следовательно, g = x = gr+1x(1) + . . . + gnx(k), т.е. решение g есть линейная комбинация столбцов x(1), . . . , x(k) нормальной фундаментальной системы решений, что завершает доказательство.
Однородная СЛАУ (14.1) может иметь не только нормальные фундаментальные системы решений, но и другие фундаментальные системы решений. Оказывается, что утверждение следствия 14.2 имеет место не только для нормальной фундаментальной системы решений, но и для произвольной фундаментальной системы решений.
17)Неоднородная СЛАУ Ax = b. Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.
Теорема 14.4. Пусть столбец x◦ — некоторое решение СЛАУ Ax = b. Произвольный столбец x является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление x = x◦ + y, где y — решение соответствующей однородной СЛАУ Ay = 0.
Если x — решение СЛАУ Ax = b, то A(x − x◦) = Ax − Ax◦ = b − b = 0. Поэтому столбец y = x − x◦ является решением соответствующей однородной СЛАУ, и мы получаем представление x = x◦ + y.
Наоборот, если y — произвольное решение соответствующей однородной системы, то x = x◦ + y — решение системы Ax = b, так как A(x◦+ y) = Ax◦+ Ay = b + 0 = b.
Следствие 14.3. Пусть x0 и x00 — решения неоднородной системы Ax = b. Тогда их разность y = x0− x00является решением соответствующей однородной системы Ay = 0.
18)Матрица совместная если она имеет решение.
Теорема 12.5. Базисные строки (столбцы) матрицы A, соответствующие любому ее ба- зисному минору M , линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы A, не входящие в М , являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).
Следствие 12.1. Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно независимы.
J Н е о б х о д и м о с т ь. Если квадратная матрица A невырождена, то ее ранг равен ее поряд- ку, а ее определитель является базисным минором. Поэтому все строки (столбцы) являются базисными и по теореме 12.5 о базисном миноре они линейно независимы.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Если все строки (столбцы) квадратной матрицы A являются линейно независимыми, то они являются базисными. Действительно, если бы только некоторые из них были базисными, то, согласно теореме 12.5 о базисном миноре, оставшиеся были бы линейны- ми комбинациями базисных и, следовательно, строки (столбцы) матрицы A, согласно теореме 12.4, были бы линейно зависимыми. Так как все строки и столбцы квадратной матрицы A являются базисными, а им соответствует определитель матрицы, то он является базисным ми- нором и, следовательно, согласно определению 12.4, отличен от нуля, т.е. квадратная матрица A невырождена. I
,
- основная матрица системы,
- матрица-столбец свободных членов. 
матрица-столбец неизвестных переменных,