Сплайн-интерполяция, кубический сплайн.

Сплайном называется непрерывная функция, принимающая в узлах интерполяции значения y0, y1, . . ., yn, и описываемая на отдельных отрезках

[хi-1, хi] (i=1,2..n) некоторыми полиномами Pi(x) невысокого порядка (на практике чаще всего третьего). Сплайны хороши тем, что дают возможность получить приближенный аналитический вид функции, при этом степень полинома остается невысокой и в узловых точках сопряжение сегментов интерполирующей кривой - гладкое. Главным недостатком сплайнов является то, что на каждом отрезке [хi-1, хi] функция приближается отдельным полиномом. С этой точки зрения сплайн-интерполяция относится к локальной интерполяции.

Наиболее часто на практике используется кубический сплайн. При построении кубического сплайна необходимо на каждом интервале интерполяции определять коэффициенты полинома

Pi(x) = aix3 + bix2 + cix+di .

Коэффициенты кубического сплайна определяются из системы уравнений, в которую входят два уравнения для конечных точек отрезка [хi-1, хi] и два уравнения, требующие равенства в узловых точках первых и вторых производных. Для полиномов кубического сплайна коэффициенты могут быть получены по следующим выражениямдля первого интервала

где значения первой и второй производных должны быть заданы. Если эти значения неизвестны, то на практике часто полагают их равными нулю;

для последующих i-ых интервалов

При практической реализации сплайн-интерполяции необходимо рассчитать векторы коэффициентов полиномов на всех интервалах, а затем определить интервал для интерполируемого значения и произвести расчет искомого значения.