Задача аппроксимации. Метод наименьших квадратов и его использование для аппроксимации табличных данных.

Задача аппроксимации – представление произвольной сложной функции f(x) более простой и удобной для практического использования аппроксимирующей функцией j(x) таким образом, чтобы отклонение j (x) от f(x) на заданном отрезке [a,b] было минимальным по определенному критерию приближения. При этом в отличие от задачи интерполяции значения функции j (x) могут отличаться от значений функции f(x) в заданных точках.

Наиболее распространенным методом аппроксимации данных является метод наименьших квадратов

критерий близости в методе наименьших квадратов является требование

минимальности среднего квадратического отклонения

Из всех прямых ϕ (x) = ax + b мы выбираем ту, для которой сумма

квадратов отклонений значений функции от этой прямой минимальна. Т.е. мы

минимизируем функцию

Имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Аппроксимация полиномом с помощью МНК. Пусть функция y = f(x) задана таблицей своих значений: yi = f(xi), i = 0,1, ...n. Требуется найти полином фиксированной степени m, для которого СКО

минимально.

Так как многочлен Pm(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm определяется своими коэффициентами, то нужно подобрать набор коэффициентов a0,a1,a2….am, минимизирующий функцию

Используя необходимое условие экстремума , k=0,1,..m, получаем так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов:

Полученная система есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных a0,a1,a2….am. Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Однако при высоких степенях m система является плохо обусловленной. Поэтому МНК обычно применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5.

Для полинома второй степени P2(x)=a0+a1x+a2x2 нормальная система уравнений примет следующий вид: