Постановка задачи интерполяции табличных данных. Линейная интерполяция.

Интерполяция данных

Задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы

n + 1 точки xi = х0, х1, . . ., хn, которые называются узлами интерполяции, и

значения некоторой функции f(x) в этих точках

f(x0) = y0, f(x1) = y1, . . ., f(xn) = yn.

Требуется построить функцию ϕ(х) (интерполяционная функция),

принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те

же значения, что и f(x), т. е. такую, что

ϕ (x0) = y0, ϕ (x1) = y1, . . ., ϕ (xn) = yn.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = ϕ (х) некоторого

определенного типа, проходящую через заданное множество точек M(xi, yi) (i =

0, 1, ..., n).

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной

функции искать полином ϕ (х) (интерполяционный полином) степени не выше

n, удовлетворяющий условиям.

Полученную интерполяционную формулу

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции

f(х) для значений аргумента х, отличных от узлов интерполяции. Такая

операция называется интерполяцией функций.

Различают следующие виды интерполяции:

1. Локальная (кусочная), при которой интерполяция осуществляется на

отдельных подинтервалах отрезка [a, b] полиномами невысоких степеней

(прямыми, параболами);

2. Глобальная, при которой все точки f(х) соединяются единым

интерполяционным полиномом.

Линейная интерполяция

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции

является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки

М(xi,yi) (i = 0, 1, ..., n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x)

приближается к ломаной с вершинами в данных точках (рисунок 6.2).

Уравнения каждого отрезка ломаной линии в общем случае разные, но они

будут представлять собой уравнение прямой (интерполяционный полином

первой степени).

ϕ (х)=aix + bi, xi-1<x<xi,

i=1,2,…n

Поскольку имеется n интервалов (xi-1 , xi ), то для каждого из них в

качестве уравнения интерполяционного полинома используется уравнение

прямой, проходящей через две точки. Коэффициенты полинома находятся из

уравнений

Отсюда можно получить выражения для определения коэффициентов

полинома

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно

определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем

подставить его в формулы для определения коэффициентов и найти

приближенное значение функций в этой точке.