Производная по направлению.

Рассмотрим функцию z = f(x, y), определенную в некоторой области плоскости
(x, y). y

S

ΔyΔsM(x+Δx, y+Δy)

βα Δx

M(x,y)

x

Рассмотрим точку M(x, y) и некоторый вектор S,проходящий через эту точку и имеющий направляющие косинусы cos α и cos β На векторе S возьмем точку M₁(x + Δx, y + Δy). Функция z = f(x, y) получит приращение Δz. Будем считать, что функция z и ее производные z′_x и z′_y непрерывны в области, содержащей точки М и М₁, тогда

Если u = u(x, y, z), то

П р и м е р

.Найти производную функции u = x² + y² + z² в направлении вектора s = i + j + k в точке М(1, -1, 1).

Производная по направлению показывает скорость изменения функции в направлении вектора s.