Базис и координаты вектора

Определение 1. Линейной комбинацией векторов а₁, а₂,…,аn называется выражение вида: k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n, где _ki – числа.

Определение 2. Векторы а₁, а₂,…,а_n называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k₁, k₂,…, k_n, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n = 0. (1)

Если же равенство (1) возможно только при всех k_i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Определение3. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Замечание 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Замечание 5. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы.

Определение 4. Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе:

если a, b, c – базис и d = ka + mb + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.

Свойства базиса:

1. Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.

2. Разложение данного вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в данном базисе определяются единственным образом.

3. При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются.

4. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Определение 5. Проекцией вектора АВ на ось u называется длина направленного отрезка А^/В^/ оси u, где А^/ и В^/ - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось u.

Обозначение: пр_uа.

Свойства проекции:

1. Пр_ua = |a| cosφ, где φ – угол между а и осью u.

2. При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются.

3. При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается на это число.

Замечание. Свойства 2 и 3 назовем линейными свойствами проекции.

Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной комбинации:

d = Xi + Yj +Zk. (2)

Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.

Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.

Определение 6. Косинусы углов, образованных вектором о осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами.

Свойства направляющих косинусов:

1. X = |d| cosα, Y = |d| cosβ, Z = |d| cosγ.

2

3. cos2α + cos2β + cos2γ = 1.