Векторное.

Пусть одна тройка векторов (a, b, с), тогда говорят, что векторы образуют правую тройку, если смотреть с конца вектора c, то кротчайший поворот от a к b происходит против часовой стрелки.

→

→ → →

Векторным произведениемвекторов a и b , называют вектор с, который удовлетворяет следующим условиям:

1. Вектор с ортогонален а , вектор с ортогонален b.

2. Векторы a; b; c образуют правую тройку.

3. Модуль вектора │ c│ равен произведению модулей векторов │a│ и

│ b│ на синус этих векторов.

Ç

→ → → → →

│ c│= │a││ b│* sin ( a b )

→ →→ →

a *b ; [ a b ] - векторное произведение

Свойства векторного произведения:

→ → → →

1. a *b = - b * a

2. Если векторное произведение равно нулю, следовательно, векторы коллиниарны (обратное верно).

→ → → → → →

c = a *b = i j k

ax ay az

bx by bz

Пример:

→ →

a = {1; 0; -2} b={0; -1; 1} a*b =?

+ i - j + k

0 -2 1 -2 1 0

a*b = -1+0 – 2 = i -j +k =

-1 1 0 1 0 -1

0 -1 +1

→ → →

= -2i –j +(-k)

→

Ответ: c = { -2; -1; -1}

Приложение векторного произведения в геометрии.

1.Площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах

равно модулю векторного произведения этих векторов.

→ →

S парал. = | a * b │

2. Площадь треугольника, построенного на векторах, как на сторонах равна

половине модуля векторного произведения этих векторов.

→ →

Sr = ½ │ a * b │

Пример: → →

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах аи b предыдущего примера.

→ →

a = {1; 0; -2} b={0; -1; 1}

→ →

a * b = c = {-2; -1; -1}

→ → →

│a * b│=│c │= √‾(-2)² + (-1)² + (-1)² = √‾ 4+1+1 = √‾6

Sr = ½ * √‾6