Свойства линейных операций

Сложение векторов коммутативно: .

Сложение векторов ассоциативно: .

Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего: . Очевидно, .

Для любого вектора существует вектор такой, что или .

Умножение вектора на число ассоциативно: . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел: .

Доказательство сводится к перечислению всех возможных знаков и , в каждом случае утверждение очевидно.

Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: . Это следует из подобия треугольников и на рисунке.

Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор: .

2. Координаты и компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Примеры.

Если и — два неколлинеарных вектора в плоскости, а — произвольный вектор в той же плоскости, то всегда существуют такие числа и , что . В этом случае говорят, что вектор разложен по векторам и .

Если и — неколлинеарные единичные векторы (т. е. вектора, модуль которых равен единице) , то произвольный вектор плоскости может быть представлен в виде . В этом случае говорят, что вектор имеет в системе и координаты .

Если векторы и взаимно перпендикулярны, причем вектор может быть получен из вектора поворотом против часовой стрелки, то говорят, что прямые, в которых лежат и , образуют декартову прямоугольную систему координат, а числа называются декартовыми координатами вектора .

Пусть точка с координатами — начало вектора , а точка с координатами — его конец. Тогда координаты вектора связаны с координатами точек и формулами: , , т. е. декартовы координаты вектора равны разности соответствующих координат конца вектора и его начала.

Декартовы координаты вектора являются проекциями этого вектора на соответственные оси систем координат: , .

Пусть вектор имеет координаты , что записывается в виде , а вектор — , или .

Тогда:

,

,

,

,

т. е. действиям с векторами отвечают идентичные действия с их координатами.

Модуль вектора определяется через его декартовы координаты посредством равенства: , а единичный вектор , имеющий с вектором одинаковое направление, записывается в виде и имеет координаты: .

3. Проекция вектора на ось. Свойство суммы проекций и выражение проекции через длину вектора и косинус угла.

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.

Проекцией точки М на ось l называется основание М₁ перпендикуляра ММ₁, опущенного из точки на ось.

Точка М₁ есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М1.

Пусть АВ — произвольный вектор (АВ 0). Обозначим через А₁ и b ₁проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора АВ и рассмотрим вектор А₁В₁

Проекцией вектора АВ на ось l называет ся положительное число |A ₁B ₁ | , если вектор А ₁В ₁ и ось l одинаково направлены и отрица тельное число — |A ₁B ₁ | , если вектор А ₁В₁ и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки a ₁и b ₁совпадают (А ₁В ₁ =0), то проекция вектора АВ равна 0.

Проекция вектора АВ на ось l обозначается так: пр_lАВ. Если АВ=0 или АВl , то пр_l АВ=0.

Угол  между вектором а и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

Проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций векторов на эту ось

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки ( , , ) и ( , , ), являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам , , .

Формула

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

4. скалярное произведение векторов. Примеры. Линейные свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Примеры.

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длиныданного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

,

,