Скалярное произведение векторов.

Если угол между векторами острый,то и скалярное произведение будет положительным.
Если угол между векторами тупой,тои скалярное произведение отрицательно.
Если угол между векторами прямой, то и скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны.

Скалярный квадрат вектора.
Скалярный квадрат вектораравен квадрату длины данного вектора:
.
1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.
Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов и , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой
векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда . В координатах данный факт запишется следующим образом:

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами.

Косинус угла между векторами плоскости и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой:
.

Проекция вектора на вектор.
Проекция вектора на координатные оси.
Направляющие косинусы вектора.

Спроецируем вектор на вектор
Если угол между векторами острый (как на рисунке), то

Если векторы ортогональны, то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).

Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина, но взятая со знаком минус).

Если векторы плоскости и , заданы в ортонормированном базисе , то проекция вектора на вектор выражается формулой:
.
Итак, координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на направления соответствующих координатных векторов (координатные оси).

Направляющие косинусы ненулевого вектора , заданного в ортонормированном базисе , выражаются формулами

Векторное произведение векторов

Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию.
1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называютантикоммутативностью. Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные илидистрибутивные законы векторного произведения.