Теорема.

Пусть функции и имеют в точке производные -го порядка, тогда функции , также имеют производные -го порядка в точке , причём:

Последняя формула называется формулой Лейбница.

Введенный индуктивно метод нахождения производной n-го порядка какой-либо функции требует знания всех предшествующих производных. Однако в некоторых случаях оказывается возможным установить такое представление для n-ой производной, которое зависит только от n, что дает возможность не находить предшествующие производные.

Пример 1. Найти производные - го порядка от основных элементарных функций: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

а) Рассмотрим функцию , где - любое вещественное число. Последовательно вычисляя производные, находим

, ,

Легко усматривается общий закон

который, вообще говоря, требует обоснования. Для этого воспользуемся методом математической индукции. Предполагая, что для данного n формула верна, продифференцируем её еще раз. Получим

Т.е., наша формула оказывается верной и для (n+1)-ой производной. Откуда вытекает ее справедливость для всех значений n.

Если взять , то будем иметь:

При получим:

При натуральном k-я производная будет постоянным числом k!; и все следующие производные окажутся нулями. Ясно, что - я производная многочлена степени n также будет нулем.

б) Для функции предварительно возьмем ее первую производную . Взяв -ю производную от обеих частей данного равенства и воспользовавшись результатом предыдущего примера (случай ), получим:

в) Для показательной функции имеем

, , .

Приходим к общей формуле

легко доказываемой по методу математической индукции, в частности, .

г)-д) Рассмотрим тригонометрические функции и . Например, для имеем:

, , , .

Для

, , , .

Если заметить, что каждое дифференцирование приводит к сдвигу аргумента на :

, ,

то сразу находим

, .

Пример 2. Пусть и - дважды дифференцируемые функции. Найти , если .

Используя правило дифференцирования показательно-степенной функции, последовательно получим: ,

Пример 3. Пусть трижды дифференцируемая функция. Найти , , если .

Применим правило дифференцирования сложной функции:

, ,

Пример 4. Найти , если .

Воспользуемся формулой Лейбница, для этого положим: , . Тогда , , ; (пример 1б). Поэтому: , .

Пример 5. Найти , если .

Пусть , . Используя данные примера 1г, получим: . Учитывая, что , , а для всех , будем иметь:

Отметим, что формула Лейбница особенно эффективна в том случае, когда одна из перемножаемых функций имеет лишь конечное число отличных от нуля производных, а вычисление всех производных другой функции не представляет затруднений.

Пример 6. Найти , если .

Чтобы найти n-тую производную функции , предварительно вычислим ее первую производную

которую, используя вспомогательный угол такой, что

, ,

можно представить в виде

Замечая, что дифференцирование приводит к сдвигу на угол и умножению на , устанавливаем общий закон

обоснование которого осуществляется по методу математической индукции:

Пример 7. Найти через , если .

Для первой производной легко получим выражение через :

, ,

Тогда:

Дифференцируя еще раз, находим:

В результате приходим к общей формуле

для доказательства которой, опять-таки, используется метод математической индукции:

Применяя эту формулу, найдем значение . Так как , то:

Пример 8. Найти , если .

Разложим данную функцию на простые дроби:

. По формуле, полученной в пример 1а, будем иметь:

Определение дифференциала высших порядков.

Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом функции в некоторой точке называется дифференциал, вычисленный в этой точке от ее первого дифференциала:

Все последующие дифференциалы определяются по индукции: .Таким образом, дифференциалом -го порядка или -м дифференциалом функции называется дифференциал от ее -го дифференциала:

При вычислении дифференциалов высших порядков важно помнить, что есть произвольное, малое или нет, и не зависящее от x число, которое при дифференцировании по x следует рассматривать как постоянный множитель. Тогда

По индукции: , .

Последнее равенство показывает, что производную n-го порядка можно рассматривать как дробь.

Используя представление для дифференциала n-го порядка, преобразуем формулу Лейбница, умножив ее на . Тогда получим

, , .

Поставим вопрос, переносится ли на дифференциалы высших порядков свойство инвариантности формы. Пусть функции и - достаточное число раз дифференцируемы. Составим сложную функцию . Ее первый дифференциал можно записать в форме: , .

Вычислим второй дифференциал по :

При этом мы воспользовались инвариантностью формы первого дифференциала. В результате .

Если бы x была независимой переменной, то второй дифференциал имел бы вид: .

Таким образом, свойство инвариантности формы не имеет места для дифференциалов высших порядков. Для дифференциалов третьего и высших порядков число добавочных членов возрастает:

Пример 9. Пусть и - дважды дифференцируемые функции. Найти , если: 1) ( и - постоянные); 2) .

1) Используем определение первого и второго дифференциалов и правила дифференцирования:

2) ,

Пример 10. Найти , если , где - функция переменной , дифференцируемая достаточное число раз.

Для согласно свойству инвариантности формы получим: . Далее воспользуемся формулой Лейбница. Пусть:

, , тогда:

Пример 11. Выразить производные и от функции через последовательные дифференциалы переменных и , не предполагая независимой переменной.

Последовательно находим:

, ,

Эти формулы дифференцирования являются наиболее общими; если считать x независимой переменной, то все дифференциалы x, начиная со второго, оказываются нулями и мы приходим к уже известным формулам.

Формулы, полученные в предыдущем примере, позволяют осуществлять дифференцирование параметрически заданной функции:

, .

Предполагая наличие производных соответствующих порядков по t, находим: ,

Пример 12. Найти производные , , от следующих

параметрически заданных функций: 1) , ; 2) , .

1) ,

2) , ,

, при этом .

Формулы для нахождения производных высших порядков используются для упрощения выражений, содержащих производные высших порядков по одной переменной при переходе к новой переменной, и осуществляют замену переменной.

Пример 13. В выражении перейти от к новой переменной .