Пусть векторное произведение векторов 
скалярно умножается на вектор 
. Результатом операции будет число.
Векторно-скалярным или смешанным произведением называется произведение трех векторов 
.
Рассмотрим геометрический смысл векторного произведения. Для этого постоим параллелепипед, ребрами которого служат вектора 
(См. рис. 14).
Обозначим 
, тогда 
.
Но 
= S – площади параллелограмма, а 
, т.е. ни что иное, как высота параллелепипеда, если вектора 
образуют правую тройку, и высоту, взятую со знаком “-“, если вектора образуют левую тройку. Таким образом,
.
Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, если они образуют правую тройку, и объему, взятому со знаком “-“, если вектора образуют левую тройку.
