З’ясуємо поняття “швидкості зміни” або похідної за довільним заданим напрямком.
Нехай 
, 
.
Проведемо із точки М вектор S з напрямними косинусами ( 
). На векторі S на віддалі DS від його початку, розглянемо точку М1 ( 
), 
, и 
– неперервна і має неперервні частинні похідні
, 
, 
Отже, похідна від и в точці М(х,у,z) в напрямку вектора 
це 
Зокрема, при a=0, 
отримаємо 
. Частинні похідні по х,у,z виражають “швидкість” зміни функції в напрямку координатних вісей.
Виникає питання: за яким напрямком функція в заданій точці буде швидше зростати?
В кожній точці Е, де задана 
визначимо вектор, проекції якого на осі координат є значення частинних похідних , 
, 
. Позначимо цей вектор 
.
Таким чином, в Е визначено векторне поле градієнтів. Можна довести, що похідна за напрямком S дорівнює проекції вектора 
на S : 
.
