Маємо 
Візьмемо точку 
довільні прирости.
приріст функції.
частинний приріст по змінній 
.
частинний приріст по змінній 
.
частинний приріст по змінній 
.
Означення.Якщо існує скінченна границя відношення частинного приросту функції до відповідного приросту аргументу 
то вона називається частинною похідною по відповідній змінній. Можливі інші позначення: 
Приклад.Знайти частинні похідні функцій:
в точці 
знайдемо похідні за означенням: 
Добуток частинної похідної на довільний приріст називається частинним диференціалом:
Нагадаємо, що для 
диференційовна в точці 
якщо 
де 
і диференційовність ототожнювалась з існуванням похідної. Аналогічна формула має місце для функції трьох змінних.
Означення диференційованості. 
називається диференційовною в точці 
, якщо повний приріст функції в цій точці можна подати у вигляді 
де 
що не залежать від 
, а 
залежить від метрики простору: 
- віддаль між точками 
та 
.
Якщо функція диференційовна, то лінійна частина повного приросту функції називається повним диференціалом.
Теорема(про існування частинних похідних).Якщо функція , диференційовна в точці , то існують частинні похідні: 
Доведення. Дійсно, якщо функція диференційовна в точці 
, то 
Нехай 
тоді 
і існує 
Аналогічно для 
Отже 
диференційовна в точці , якщо 
Приклад. 
Дослідити на диференційовність в точці (0,0).
не існує. Отже, функція недиференційована в точці (0,0).
Відмітимо, що обернене до теореми твердження невірне, існування частинних похідних не забезпечує диференційовності функції.
