Перша теорема Вейєрштрасса.Якщо 
неперервне відображення компактного простору К в 
то обмежена на К.
Доведення. Припустимо супротивне: існує точка 
Оскільки К-компактний простір, то 
Оскільки неперервна на К, то 
а з іншого боку 
скінчене, що суперечить умові необмеженості функції. Якщо 
то маємо відому теорему Вейєрштрасса для 
Друга теорема Вейєрштрасса.Нехай 
. Тоді існує точка 
, 
в яких функція досягає свого найбільшого і найменшого значення: 
Означення. 
довільні метричні простори. Відображення 
рівномірно неперервне на Е, якщо 
як тільки 
, то 
Теорема Кантора (про рівномірну неперервність на компакті). Якщо 
- неперервне відображення компакту К в довільний простір 
рівномірно неперервне на К.
Мають місце аналоги теореми Больцано-Коші. Аналогом скінченному проміжку в 
є обмежена зв’язна область.
Означення.Множина 
називається зв’язною, якщо будь-які дві точки множини з’єднати ламаною зі скінченною кількістю ланок, що цілком належать множині Е.
Теорема 1. 
неперервне відображення зв’язної множини з 
в ). Якщо в двох точках 
і 
: 
то існує точка 
: 
.
