Упражнения для самостоятельной работы

1.Для функции определить: 1) 2) и сравнить их, если: а) б) в) .

Найти дифференциал функции , если:

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15.

Пусть и - дифференцируемые функции от . Найти дифференциал функции , если:

16. 17. 18. 19.

20. 21. 22. 23.

24.Доказать приближённую формулу: где ( весьма мало по сравнению с ). С помощью этой

формулы вычислить : а) б) в) и сравнить с табличными данными.

25.С какой относительной погрешностью можно измерить радиус шара, чтобы объём его можно было определить с точностью до 1%?

26.Определить абсолютную погрешность десятичного логарифма числа , , если относительная погрешность этого числа равна .

27.В круговом секторе радиус и центральный угол . Определить приближённо, насколько изменится площадь этого сектора, если: а) радиус его увеличить на 1см; б) угол уменьшить на ?

Найти:

28. 29. 30.

31. 32.

33.Написать уравнения касательной инормали к кривой в точках: а) б) в)

34.Доказать, что парабола пересекает ось под углами и , равными между собой.

35.Под каким углом кривая пересекает ось

36.Под какими углами пересекаются кривые и ?

37.Под какими углами пересекаются кривые и ?

38.При каком выборе параметра кривая пересекает ось под углом, большим ?

39.Показать, что кривая а) при касается оси б) при касается оси .

40.Доказать, что у астроиды , длина отрезка касательной, заключённого между осями координат, есть величина постоянная.

41.При каком соотношении между коэффициентами парабола касается оси

42.Доказать, что кривые и , где - дифференцируемая функция, касаются друг друга в общих точках.

Найти производную следующих параметрически заданных функций:

43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

51.Найти , если: а) ; б) в)

г) д) ; где - полярные координаты.

52.Показать, что функция , определяемая системой уравнений дифференцируема при , однако её производная не может быть найдена по обычной формуле.

53. Написать уравнения касательной и нормали к кривой: в точках а) б)

§3. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма.

Пусть функция определена на промежутке X и во внутренней точке принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя производная , то необходимо .

Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной приводит к тому, что если , то касательная к кривой в этой точке параллельна оси . Предположение, что точка является внутренней, существенно, так как мы рассматриваем точки x справа и слева от .